Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
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Passo 1
Então, galera, a gente tem a função
. O nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a
e
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia, que vão ajudar a gente a lidar com essa função que é o produto de
,
e a exponencial
.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Para isso, aplicamos a regra do produto. Primeiro, tratamos
como uma função e derivamos
vezes essa função em relação a
.
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, aplicamos a regra do produto, tratando
como uma função e derivando em relação a
.
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, derivamos
em relação a
.
Derivando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivamos
em relação a
.
Derivando
:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
. Já temos
.
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas solicitadas são:
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.
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.
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.