Em cada caso, calcule as derivadas z_x, z_y, z_xx, z_yy e zyx.
© z = x * y * exp(x^2 + y^2)

Passo 1

Então, galera, a gente tem a função . O nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia, que vão ajudar a gente a lidar com essa função que é o produto de , e a exponencial .

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Para isso, aplicamos a regra do produto. Primeiro, tratamos como uma função e derivamos vezes essa função em relação a .
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, aplicamos a regra do produto, tratando como uma função e derivando em relação a .
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, derivamos em relação a .
Derivando :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Derivamos em relação a .
Derivando :
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a . Já temos .
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

As derivadas solicitadas são:

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