Faça o esboço da função
em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos o esboço do gráfico da função
. Para isso, precisamos descobrir onde a função é côncava (ou seja, se está “sorrindo” ou “chorando”) e se ela tem pontos de inflexão (onde muda a concavidade). Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos ver onde a segunda derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
No entanto, essa equação nunca é igual a zero porque o numerador é uma constante negativa e o denominador nunca é zero para
.
Passo 5
Como não há pontos onde
, vamos analisar o sinal de
para determinar a concavidade. Observamos que para todos os
:
Isso significa que a função é sempre côncava para baixo no domínio.
Passo 6
Já que a segunda derivada é sempre negativa e nunca muda de sinal, não existem pontos de inflexão na função. A concavidade permanece a mesma em todo o domínio.
Resposta
A função
é côncava para baixo em todo o seu domínio
e não apresenta pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
.
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
©
©
Calcule a diferencial das funções seguintes:
(b)
(b)
Indique o domínio da função
definida por