Faça o esboço da função em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos o esboço do gráfico da função . Para isso, precisamos descobrir onde a função é côncava (ou seja, se está “sorrindo” ou “chorando”) e se ela tem pontos de inflexão (onde muda a concavidade). Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos ver onde a segunda derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
No entanto, essa equação nunca é igual a zero porque o numerador é uma constante negativa e o denominador nunca é zero para .

Passo 5

Como não há pontos onde , vamos analisar o sinal de para determinar a concavidade. Observamos que para todos os :
Isso significa que a função é sempre côncava para baixo no domínio.

Passo 6

Já que a segunda derivada é sempre negativa e nunca muda de sinal, não existem pontos de inflexão na função. A concavidade permanece a mesma em todo o domínio.

Resposta

A função é côncava para baixo em todo o seu domínio e não apresenta pontos de inflexão.

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Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .
Em cada caso, calcule as derivadas e .
©
Calcule a diferencial das funções seguintes:
(b)
Indique o domínio da função definida por