Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano . Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Então, o paraboloide fica:
E o cilindro fica simplesmente .
Passo 3
Agora, vamos entender os limites de integração:
Para : Queremos a região fora do cilindro , então vai de 1 até o valor onde o paraboloide intercepta o plano . No plano , , então resulta em . Portanto, varia de 1 a 2.
Para : Como não há restrição angular, varia de 0 a .
Para : O sólido está acima do plano () e abaixo do paraboloide (), então varia de 0 a .
Passo 4
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, o fator vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas ().
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :