Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano . Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e configurar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Então, o paraboloide fica:
E o cilindro fica simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos entender os limites de integração:
  • Para : Queremos a região fora do cilindro , então vai de 1 até o valor onde o paraboloide intercepta o plano . No plano , , então resulta em . Portanto, varia de 1 a 2.
  • Para : Como não há restrição angular, varia de 0 a .
  • Para : O sólido está acima do plano ( ) e abaixo do paraboloide ( ), então varia de 0 a .

Passo 4

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, o fator vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas ( ).

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando os valores:
Para :
Para :
Então, a diferença é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Em cada caso, calcule as derivadas e .
©
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seja contínua.
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(b)