Calcule o valor de k para que a função
f(x, y)=cl x^4 y^43-raizy^4+9+9(y+1), & se (x, y) neq(0,0) k^2+5, & se (x, y)=(0,0)
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos o valor de que faz com que a função seja contínua. A função é definida de duas formas diferentes quando é igual a e quando é diferente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua no ponto lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = f(0, 0) = k^2 + 5 . Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função f(x, y) = x^4 y^43-raizy^4+9 + 9(y+1) quando se aproxima de . A função para é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Observando a parte raiz9 + y^4 approx 3 + y^46 no denominador, podemos aproximar a raiz para valores de 3 - raizy^4 + 9 approx 3 - (3 + y^46) = -y^46 próximos de zero. Usando uma expansão de Taylor para :
Portanto, o denominador fica:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na função, temos:
f(x, y) approx x^4 y^4-y^46 + 9(y + 1) = -6x^4 + 9y + 9
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando lim(x, y) to (0, 0) (-6x^4 + 9y + 9) = 0 + 0 + 9 = 9 se aproxima de :

Passo 6

Agora que temos o limite da função igual a 9, igualamos isso ao valor da função em 9 = k^2 + 5 :
k^2 = 9 - 5 k^2 = 4 k = pm 2
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua são e .

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