Calcule o valor de
para que a função
seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos o valor de
que faz com que a função
seja contínua. A função é definida de duas formas diferentes quando
é igual a
e quando é diferente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua no ponto
. Isso quer dizer que o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. A função para
é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 4
Observando a parte
no denominador, podemos aproximar a raiz para valores de
próximos de zero. Usando uma expansão de Taylor para
:
Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na função, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de
:
Passo 6
Agora que temos o limite da função igual a 9, igualamos isso ao valor da função em
:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores de
que tornam a função contínua são
e
.
Exercícios relacionados
Faça o esboço da função
em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os valores extremos de
.
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(b)
(b)
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
©
©
Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
.