Calcule o valor de para que a função
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrarmos o valor de que faz com que a função seja contínua. A função é definida de duas formas diferentes quando é igual a e quando é diferente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua no ponto . Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . A função para é:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Observando a parte no denominador, podemos aproximar a raiz para valores de próximos de zero. Usando uma expansão de Taylor para :
Portanto, o denominador fica:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na função, temos:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de :

Passo 6

Agora que temos o limite da função igual a 9, igualamos isso ao valor da função em :
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua são e .

Exercícios relacionados

Faça o esboço da função em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os valores extremos de .
Em cada caso, calcule as derivadas e .
(b)
Em cada caso, calcule as derivadas e .
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Use coordenadas cilíndricas para determinar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .