Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(e)
(e)
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
A função dada é:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e então multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
.
Usando o mesmo procedimento da regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Começamos com
. Para derivar novamente em relação a
, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usamos o mesmo método que no passo anterior:
Simplificando:
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas solicitadas são:
Exercícios relacionados
Calcule o limite.
Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
. Para isso: Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função
.
(b)
(b)