Em cada caso, calcule as derivadas e .
(e)

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de .
A função dada é:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e então multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de .
Usando o mesmo procedimento da regra da cadeia:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Começamos com . Para derivar novamente em relação a , usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usamos o mesmo método que no passo anterior:
Simplificando:

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Sabemos que:
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas solicitadas são:

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Calcule o limite.
Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas e . Para isso: Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função .
(b)