Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
. Para isso: Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície dada por
e acima da região no plano
limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são ótimas para calcular volumes de sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície. A equação
pode ser rearranjada para expressar
em função de
e
:
Isso significa que, para cada ponto
no plano, o valor de
é dado por
. Esse é o limite superior do nosso sólido.
Passo 3
Agora, vamos analisar a região no plano
que está limitada pelas curvas
e
. Para visualizar isso, vamos traçar essas duas curvas:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
é uma curva cúbica que passa pela origem e tem simetria central.
Encontrar os pontos de interseção dessas curvas nos ajuda a determinar os limites de integração. Igualando
:
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção encontrados, podemos determinar os limites de integração. Para
variando de 0 a 1,
varia de
a
. Portanto, nossa integral dupla para o volume
será:
Aqui,
é a função que representa a superfície superior, e estamos integrando sobre a área limitada pelas curvas dadas.
Passo 5
Vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(e)
(e)
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função
.
(b)
(b)