Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas e . Para isso: Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície dada por e acima da região no plano limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são ótimas para calcular volumes de sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície. A equação pode ser rearranjada para expressar em função de e :
Isso significa que, para cada ponto no plano, o valor de é dado por . Esse é o limite superior do nosso sólido.

Passo 3

Agora, vamos analisar a região no plano que está limitada pelas curvas e . Para visualizar isso, vamos traçar essas duas curvas:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é uma curva cúbica que passa pela origem e tem simetria central.
Encontrar os pontos de interseção dessas curvas nos ajuda a determinar os limites de integração. Igualando :
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, podemos determinar os limites de integração. Para variando de 0 a 1, varia de a . Portanto, nossa integral dupla para o volume será:
Aqui, é a função que representa a superfície superior, e estamos integrando sobre a área limitada pelas curvas dadas.

Passo 5

Vamos calcular a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Em cada caso, calcule as derivadas e .
(e)
Em cada caso, calcule a derivada indicada da função .
(b)
, onde é a intersecção das superfícies e .