Calcule o limite. lim x 3 raiz3 x+7-4x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite lim x 3 raiz3 x+7-4x-3. Aqui, estamos lidando com limites matemáticos, especificamente envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 3 diretamente na expressão para ver o que acontece:
raiz3 cdot 3 + 7 - 43 - 3 = raiz16 - 40 = 4 - 40 = 00
Ué, deu uma forma indefinida 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A conjugada de raiz3x + 7 - 4 é raiz3x + 7 + 4. Assim, multiplicamos:
raiz3x + 7 - 4x - 3 cdot raiz3x + 7 + 4raiz3x + 7 + 4

Passo 4

Agora, vamos expandir o numerador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raiz3x + 7 - 4)(raiz3x + 7 + 4) = (raiz3x + 7)^2 - 4^2 = (3x + 7) - 16 = 3x - 9
Então, a expressão fica:
3x - 9(x - 3)(raiz3x + 7 + 4)

Passo 5

Perceba que o termo 3x - 9 pode ser fatorado:
3x - 9 = 3(x - 3)
Substituindo isso na expressão:
3(x - 3)(x - 3)(raiz3x + 7 + 4)
Agora, podemos cancelar o (x - 3) no numerador e denominador:
3raiz3x + 7 + 4

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 3:
3raiz3 cdot 3 + 7 + 4 = 3raiz16 + 4 = 34 + 4 = 38

Resposta

O limite é 38.

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