Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções trigonométricas e logarítmicas, além da regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, derivamos cada termo da função em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
, usando a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
, aplicando a regra da derivada do logaritmo.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada de
em relação a
é
, novamente usando a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
, aplicando a regra do logaritmo.
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo:
A derivada de
em relação a
é
, usando a regra do produto e da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo:
A derivada de
em relação a
é
, usando a regra do produto e da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando cada termo:
A derivada de
em relação a
é
, aplicando a regra do produto e da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
.
Então:
Resposta
As derivadas da função
são: