Em cada caso, calcule as derivadas z_x, z_y, z_xx, z_yy e zyx.
(d) z = sen(x y) + log(x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções trigonométricas e logarítmicas, além da regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, derivamos cada termo da função em relação a .
A derivada de em relação a é , usando a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é , aplicando a regra da derivada do logaritmo.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A derivada de em relação a é , novamente usando a regra da cadeia.
A derivada de em relação a é , aplicando a regra do logaritmo.
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo:
A derivada de em relação a é , usando a regra do produto e da cadeia.
A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo:
A derivada de em relação a é , usando a regra do produto e da cadeia.
A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Lembrando que:
Derivando cada termo:
A derivada de em relação a é , aplicando a regra do produto e da cadeia.
A derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas da função são:

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