Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas e . Para isso: Represente a base do sólido no plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície definida por e acima da região no plano que é limitada pelas curvas e . Para isso, vamos representar a base desse sólido no plano cartesiano e usar cálculo integral para achar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a base do sólido no plano . Temos duas curvas: e . Vamos desenhá-las para ver onde elas se intersectam e como é a região que estamos estudando.

Passo 3

Para descobrir onde as curvas se cruzam, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então, ou . Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos desenhar as curvas e visualizar a região limitada por elas. Entre e , a curva está à esquerda da curva . Então, a região de integração está entre essas duas curvas nesse intervalo de .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A função que representa a superfície é . O volume será dado por:
Onde é o elemento de área no plano . Como já mapeamos a região, podemos definir os limites de integração para de 0 a 1, e para de a .

Passo 6

Vamos executar a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a :
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de :
Agora, integramos em relação a :
Aplicando os limites de :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a diferencial das funções seguintes:
(d)
Indique o domínio da função definida por
Calcule o limite.