Determine o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
. Para isso: Represente a base do sólido no plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo da superfície definida por
e acima da região no plano
que é limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos representar a base desse sólido no plano cartesiano e usar cálculo integral para achar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a base do sólido no plano
. Temos duas curvas:
e
. Vamos desenhá-las para ver onde elas se intersectam e como é a região que estamos estudando.
Passo 3
Para descobrir onde as curvas se cruzam, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então,
ou
. Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos desenhar as curvas e visualizar a região limitada por elas. Entre
e
, a curva
está à esquerda da curva
. Então, a região de integração está entre essas duas curvas nesse intervalo de
.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A função que representa a superfície é
. O volume
será dado por:
Onde
é o elemento de área no plano
. Como já mapeamos a região, podemos definir os limites de integração para
de 0 a 1, e para
de
a
.
Passo 6
Vamos executar a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de
:
Agora, integramos em relação a
:
Aplicando os limites de
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a diferencial das funções seguintes:
(d)
(d)
Indique o domínio da função
definida por
Calcule o limite.