Em cada caso, calcule as derivadas z_x, z_y, z_xx, z_yy e zyx.
(b) z = arctg(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Aqui vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e regras de derivação como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia. Sabemos que:
Então, a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usando a mesma abordagem:

Passo 4

Com as primeiras derivadas em mãos, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, . Derivamos em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular . Derivamos em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista . Derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são:

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