ointc[e^x d x+(e^y+1) d y] onde C é o triângulo A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0) no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a integral de linha ointC[e^x dx+(e^y+1) dy], onde C é um triângulo com vértices em A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0), percorrendo no sentido anti-horário. O conteúdo que vamos usar aqui envolve Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de linha que temos é da forma ointC P,dx + Q,dy, onde P = e^x e Q = e^y + 1. Para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a área limitada pela curva C.

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde D é a região dentro do triângulo C. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^y + 1) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (e^x) = 0
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0
Isso significa que a integral dupla será zero.

Resposta

A integral de linha ointC[e^x dx+(e^y+1) dy] ao redor do triângulo C no sentido anti-horário é igual a 0.

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