Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região no plano delimitada pelas curvas , , e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem para encontrar áreas de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para entender melhor a região que estamos calculando. A curva é uma parábola que abre para cima. A reta pode ser reescrita como , que é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em . As linhas e são linhas verticais que delimitam a região no eixo .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Igualando e :
Resolvendo essa equação quadrática, percebemos que não há soluções reais, o que significa que as curvas não se interceptam. Portanto, a região está limitada pelas linhas verticais e , e acima pela reta e abaixo pela parábola .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. A área pode ser expressa como:
Aqui, estamos integrando em de até para cada entre -1 e 1.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região é igual a unidades de área.

Exercícios relacionados

, sendo .
h) onde e .
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
d)
Mostre que satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a de tal série.