Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região
no plano
delimitada pelas curvas
,
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem para encontrar áreas de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para entender melhor a região que estamos calculando. A curva
é uma parábola que abre para cima. A reta
pode ser reescrita como
, que é uma linha reta com inclinação 1 e intercepto em
. As linhas
e
são linhas verticais que delimitam a região no eixo
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Igualando
e
:
Resolvendo essa equação quadrática, percebemos que não há soluções reais, o que significa que as curvas não se interceptam. Portanto, a região está limitada pelas linhas verticais
e
, e acima pela reta
e abaixo pela parábola
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. A área
pode ser expressa como:
Aqui, estamos integrando em
de
até
para cada
entre -1 e 1.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região
é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
h)
onde
e
.
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
d)
d)
Mostre que
satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a
de tal série.