Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à E=10^-2.
d) integral0^1 / 2 ln (1+x^21-x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando série de potências! O enunciado pede para calcular . A gente vai precisar saber como expandir funções em séries de potências e entender o Critério de Leibniz para garantir que nossa série vai dar certo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do logaritmo:
ln(1+x^21-x^2) = ln(1 + x^2) - ln(1 - x^2)
Isso separa a expressão em duas partes que são mais fáceis de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como expandir ln(1 + z) = sumn=1^infty (-1)^n+1 z^nn para |z| < 1 e ln(1 - z) = -sumn=1^infty z^nn para |z| < 1 em séries de potências. Sabemos que:
e
Vamos aplicar essas séries para .

Passo 4

Aplicando na nossa expressão:
ln(1 + x^2) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2nn
e
ln(1 - x^2) = -sumn=1^infty x^2nn
Substituindo na integral:
ln(1+x^21-x^2) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2nn + sumn=1^infty x^2nn
Simplificando:
ln(1+x^21-x^2) = sumn=1^infty (1 + (-1)^n+1) x^2nn

Passo 5

Vamos integrar termo a termo a série dentro dos limites de 0 a 1/2:
integral0^1/2 ln(1+x^21-x^2) dx = sumn=1^infty (1 + (-1)^n+1)n integral0^1/2 x^2n dx
A integral de integral x^2n dx = x^2n+12n+1 é fácil de calcular:
integral0^1/2 x^2n dx = (1/2)^2n+12n+1
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na série:
integral0^1/2 ln(1+x^21-x^2) dx = sumn=1^infty (1 + (-1)^n+1)n cdot (1/2)^2n+12n+1
Vamos simplificar um pouco mais:
= sumn=1^infty 1 + (-1)^n+1n(2n+1) 2^2n+1

Passo 7

Agora, precisamos verificar se a série resultante satisfaz o Critério de Leibniz. Vamos analisar os termos:
  1. A série é alternada porque o fator faz com que os sinais dos termos alternem.
  2. O valor absoluto dos termos diminui conforme aumenta.
  3. O limite dos termos quando tende ao infinito é zero.
Como todos esses pontos são satisfeitos, a série converge pelo Critério de Leibniz.

Passo 8

Para estimar o valor da integral com erro inferior a 1 + (-1)^21 cdot 3 cdot 2^3 = 224 = 0,0833 , vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que 1 + (-1)^32 cdot 5 cdot 2^5 = 0160 = 0 .
Vamos calcular alguns termos:
Para 1 + (-1)^43 cdot 7 cdot 2^7 = 23 cdot 7 cdot 128 approx 0,0052 :
Para :
Para :
O próximo termo para será zero novamente, já que .
A soma dos termos até é aproximadamente , e o próximo termo é menor que , então nosso erro está dentro do limite desejado.

Resposta

A estimativa da integral com erro inferior a é aproximadamente .

Exercícios relacionados