Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando série de potências! O enunciado pede para calcular
. A gente vai precisar saber como expandir funções em séries de potências e entender o Critério de Leibniz para garantir que nossa série vai dar certo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do logaritmo:
Isso separa a expressão em duas partes que são mais fáceis de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como expandir
e
em séries de potências. Sabemos que:
e
Vamos aplicar essas séries para
.
Passo 4
Aplicando na nossa expressão:
e
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo a série dentro dos limites de 0 a 1/2:
A integral de
é fácil de calcular:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na série:
Vamos simplificar um pouco mais:
Passo 7
Agora, precisamos verificar se a série resultante satisfaz o Critério de Leibniz. Vamos analisar os termos:
- A série é alternada porque o fator
faz com que os sinais dos termos alternem. - O valor absoluto dos termos
diminui conforme aumenta. - O limite dos termos quando
tende ao infinito é zero.
Como todos esses pontos são satisfeitos, a série converge pelo Critério de Leibniz.
Passo 8
Para estimar o valor da integral com erro inferior a
, vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que
.
Vamos calcular alguns termos:
Para
:
Para
:
Para
:
O próximo termo para
será zero novamente, já que
.
A soma dos termos até
é aproximadamente
, e o próximo termo é menor que
, então nosso erro está dentro do limite desejado.
Resposta
A estimativa da integral
com erro inferior a
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
Mostre que
satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a
de tal série.
Seja
o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. Calcule
.