Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando série de potências! O enunciado pede para calcular . A gente vai precisar saber como expandir funções em séries de potências e entender o Critério de Leibniz para garantir que nossa série vai dar certo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro do logaritmo:
Isso separa a expressão em duas partes que são mais fáceis de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como expandir e em séries de potências. Sabemos que:
e
Vamos aplicar essas séries para .

Passo 4

Aplicando na nossa expressão:
e
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo a série dentro dos limites de 0 a 1/2:
A integral de é fácil de calcular:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na série:
Vamos simplificar um pouco mais:

Passo 7

Agora, precisamos verificar se a série resultante satisfaz o Critério de Leibniz. Vamos analisar os termos:
  1. A série é alternada porque o fator faz com que os sinais dos termos alternem.
  2. O valor absoluto dos termos diminui conforme aumenta.
  3. O limite dos termos quando tende ao infinito é zero.
Como todos esses pontos são satisfeitos, a série converge pelo Critério de Leibniz.

Passo 8

Para estimar o valor da integral com erro inferior a , vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que .
Vamos calcular alguns termos:
Para :
Para :
Para :
O próximo termo para será zero novamente, já que .
A soma dos termos até é aproximadamente , e o próximo termo é menor que , então nosso erro está dentro do limite desejado.

Resposta

A estimativa da integral com erro inferior a é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .
, sendo .
Mostre que satisfaz o Critério de Leibniz. Então, determine uma aproximação, com erro inferior a de tal série.
Seja o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e . Calcule .