integral duplaD x d x d y na região D compreendida entre as curvas y=x^2, y=0 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que está limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e pela linha vertical . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos definir os limites de integração para achar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região onde vamos integrar. A curva é uma parábola que abre para cima, é o eixo , e é uma linha vertical. Se imaginarmos isso no plano cartesiano, a região fica entre a parábola, o eixo e a linha vertical em . Basicamente, é a área que está abaixo da parábola , acima do eixo , e à esquerda de .

Passo 3

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a integralx=0^1 integraly=0^x^2 x , dy , dx e depois em relação a . Isso significa que para cada valor fixo de , varia de até . E então, varia de até . Com isso, podemos escrever nossa integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly=0^x^2 x , dy = x cdot y gr|0^x^2 = x cdot x^2 - x cdot 0 = x^3 . Como integralx=0^1 x^3 , dx é considerado uma constante nessa parte, a integral de em relação a de até fica:
Então, nossa integral agora fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a integralx=0^1 x^3 , dx = x^44 gr|0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 - 0 = 14 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados