Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que está limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e pela linha vertical . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos definir os limites de integração para achar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região onde vamos integrar. A curva é uma parábola que abre para cima, é o eixo , e é uma linha vertical. Se imaginarmos isso no plano cartesiano, a região fica entre a parábola, o eixo e a linha vertical em . Basicamente, é a área que está abaixo da parábola , acima do eixo , e à esquerda de .
Passo 3
Agora, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada valor fixo de , varia de até . E então, varia de até . Com isso, podemos escrever nossa integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Como é considerado uma constante nessa parte, a integral de em relação a de até fica:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :