na região compreendida entre as curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que está limitada pelas curvas , (que é o eixo ) e pela linha vertical . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos definir os limites de integração para achar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região onde vamos integrar. A curva é uma parábola que abre para cima, é o eixo , e é uma linha vertical. Se imaginarmos isso no plano cartesiano, a região fica entre a parábola, o eixo e a linha vertical em . Basicamente, é a área que está abaixo da parábola , acima do eixo , e à esquerda de .

Passo 3

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada valor fixo de , varia de até . E então, varia de até . Com isso, podemos escrever nossa integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Como é considerado uma constante nessa parte, a integral de em relação a de até fica:
Então, nossa integral agora fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .
c) Utilizando a estimativa de erro das séries alternadas mostre que
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
c)
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .