Em cada caso, calcule a integral indefinida integral f(x) d x.
© f(x)=-12 x^2-1x+ln x+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é calcular a integral indefinida dessa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração, principalmente como integrar cada tipo de termo que aparece na função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais de cada função individualmente. Ou seja:
integral ( -12x^2 - 1x + ln x + C ) dx = integral -12x^2 , dx + integral -1x , dx + integral ln x , dx + integral C , dx
Então, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (quando n neq -1 ) .
A regra de integração que usamos aqui é:
integral -12x^2 , dx = -12 integral x^-2 , dx = -12 ( x^-2+1-2+1 ) + C = -12 ( x^-1-1 ) + C = 12x + C
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: integral 1x , dx = ln |x| + C .
Aqui usamos a regra de integração:
integral -1x , dx = -ln |x| + C
Portanto,

Passo 5

O terceiro termo é integral u , dv = uv - integral v , du .
Para integrar du = 1x dx e v = x , usamos integração por partes. Lembre-se que:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C
Vamos deixar e . Então,
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Por fim, temos o termo constante integral C , dx = Cx + C .
Integrando uma constante:
Mas como estamos lidando com integrais indefinidas, essa constante pode ser combinada com as outras constantes de integração já presentes.

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida de integral f(x) , dx = 12x - ln x + x ln x - x + C é:

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