Em cada caso, calcule a integral indefinida integral f(x) d x.
(l) f(x)=raizx+sec ^2 x

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de cálculo aqui. Precisamos calcular a integral indefinida de . Isso envolve a matéria de integração, mais especificamente, a integração de funções básicas usando regras conhecidas. Vamos precisar lembrar das regras de integração para potências de e para funções trigonométricas como .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes. Isso é possível porque a integral é uma operação linear, ou seja, a integral da soma é a soma das integrais. Então, temos:
integral f(x) , dx = integral raizx , dx + integral sec^2 x , dx

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . A raiz quadrada de integral x^1/2 , dx = x^1/2 + 11/2 + 1 + C = x^3/23/2 + C = 23 x^3/2 + C pode ser escrita como . Para integrar potências de , usamos a regra de potência da integração, que diz que:
onde . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral sec^2 x , dx = tan x + C . Sabemos que a derivada de é , então a integral de é simplesmente . Logo:

Resposta

Juntando as duas integrais que calculamos, a integral indefinida de integral (raizx + sec^2 x) , dx = 23 x^3/2 + tan x + C é:
onde é a constante de integração.

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