Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades estão fixadas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com velocidade inicial u_t(x, t) = g(x), onde
g(x) = { 2 x / L, se 0 <= x <= L / 2; 2 (L - x) / L, se L / 2 < x <= L }
Encontre o deslocamento u(x, t) para a velocidade inicial g(x) dada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento L com as extremidades fixas, ou seja, não se movem. A corda é inicialmente colocada em posição de equilíbrio (sem deslocamento) e depois é movimentada com uma velocidade inicial dada pela função g(x). Nosso objetivo é encontrar o deslocamento u(x, t) da corda em qualquer posição x e tempo t.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecimentos sobre a equação da onda.
  • Entender as condições de contorno (extremidades fixas).
  • Trabalhar com séries de Fourier para expandir a função g(x).

Passo 2

A equação que descreve o movimento de uma corda vibrante é a equação da onda, que em uma dimensão é dada por:
onde u(x, t) é o deslocamento, e v é a velocidade da onda na corda.
Como as extremidades da corda estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, a corda parte da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial e sem deslocamento inicial, ou seja, .

Passo 3

Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos o método de separação de variáveis. Supomos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t:
Substituindo na equação da onda e dividindo por , obtemos uma equação onde cada lado depende de apenas uma variável. Assim, ambas as partes devem ser iguais a uma constante negativa, que chamamos de . Isso leva a duas equações diferenciais:
  1. Para :
  1. Para T(t):
Resolvendo essas equações com as condições de contorno, obtemos que os modos de vibração são funções senoides:
e as soluções temporais associadas são:
para

Passo 4

A solução geral é uma soma infinitas desses modos:
Como a corda parte da posição de equilíbrio, temos . Aplicando isso na solução geral:
Isso implica que para todos os n. Portanto, a solução simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial de velocidade . Calculando a derivada temporal de u(x, t):
Aplicando :
Para encontrar , expandimos g(x) em uma série de seno de Fourier:
Dado que g(x) é uma função definida por partes, calculamos a integral separadamente para cada intervalo.
Após calcular as integrais, substituímos os valores de na expressão da solução.

Resposta

O deslocamento da corda em qualquer posição x e tempo t é dado por:

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