Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estão fixadas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com velocidade inicial
, onde
Encontre o deslocamento
para a velocidade inicial
dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento
com as extremidades fixas, ou seja, não se movem. A corda é inicialmente colocada em posição de equilíbrio (sem deslocamento) e depois é movimentada com uma velocidade inicial dada pela função
. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento
da corda em qualquer posição
e tempo
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Conhecimentos sobre a equação da onda.
- Entender as condições de contorno (extremidades fixas).
- Trabalhar com séries de Fourier para expandir a função
.
Passo 2
A equação que descreve o movimento de uma corda vibrante é a equação da onda, que em uma dimensão é dada por:
onde
é o deslocamento, e
é a velocidade da onda na corda.
Como as extremidades da corda estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, a corda parte da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
e sem deslocamento inicial, ou seja,
.
Passo 3
Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos o método de separação de variáveis. Supomos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo na equação da onda e dividindo por
, obtemos uma equação onde cada lado depende de apenas uma variável. Assim, ambas as partes devem ser iguais a uma constante negativa, que chamamos de
. Isso leva a duas equações diferenciais:
- Para
:
- Para
:
Resolvendo essas equações com as condições de contorno, obtemos que os modos de vibração são funções senoides:
e as soluções temporais associadas são:
para
Passo 4
A solução geral é uma soma infinitas desses modos:
Como a corda parte da posição de equilíbrio, temos
. Aplicando isso na solução geral:
Isso implica que
para todos os
. Portanto, a solução simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os coeficientes
usando a condição inicial de velocidade
. Calculando a derivada temporal de
:
Aplicando
:
Para encontrar
, expandimos
em uma série de seno de Fourier:
Dado que
é uma função definida por partes, calculamos a integral separadamente para cada intervalo.
Após calcular as integrais, substituímos os valores de
na expressão da solução.
Resposta
O deslocamento da corda em qualquer posição
e tempo
é dado por: