Em cada caso, calcule a integral indefinida integral f(x) d x.
(f) f(x)=2+x^2+cos (2 x)

Passo 1

Opa! Vamos calcular a integral indefinida de f(x) = 2 + x^2 + cos(2x). A gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente as regras de integração para funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais de cada função. Então podemos separar a integral assim:
integral (2 + x^2 + cos(2x)) , dx = integral 2 , dx + integral x^2 , dx + integral cos(2x) , dx

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. Começando com integral 2 , dx. A integral de uma constante a em relação a x é a x + C. Então:
integral 2 , dx = 2x

Passo 4

Agora, vamos para integral x^2 , dx. Usamos a regra de potência para integração, que diz que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde n neq -1. Aqui, n=2, então:
integral x^2 , dx = x^33

Passo 5

Por último, vamos integrar integral cos(2x) , dx. Para isso, usamos a regra da integração de funções trigonométricas com coeficiente: integral cos(kx) , dx = 1k sin(kx) + C. Aqui, k=2, então:
integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)

Resposta

Somando todas as integrais, temos:
integral (2 + x^2 + cos(2x)) , dx = 2x + x^33 + 12 sin(2x) + C

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