Em cada caso, calcule a integral indefinida integral f(x) d x.
(n) f(x)=x(x+1)^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função que vamos integrar: . Para facilitar a integração, podemos reescrever essa fração dividindo o numerador pelo denominador.

Passo 3

Fazendo a divisão, temos:
xx+1 = (x+1) - 1x+1 = x+1x+1 - 1x+1 = 1 - 1x+1
Então, a integral fica:
integral xx+1 , dx = integral (1 - 1x+1) , dx

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral (1 - 1x+1) , dx = integral 1 , dx - integral 1x+1 , dx
Isso facilita a resolução, pois cada parte é uma integral básica.

Passo 5

Integrando cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x
integral 1x+1 , dx = ln|x+1|
Lembre-se que a integral de em relação a é .

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
x - ln|x+1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida de integral xx+1 , dx = x - ln|x+1| + C é:

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