Em cada caso, calcule a integral indefinida integral f(x) d x.
(i) f(x)=sec (2 x) tg(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de . O que a gente precisa aqui é entender como integrar funções trigonométricas, especificamente usando técnicas de substituição. Vamos precisar usar a regra da substituição para facilitar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que a função dentro da função trigonométrica é . Então, vamos fazer uma substituição onde . Isso facilita a integração porque vamos trabalhar com , que é uma forma conhecida de integrar.

Passo 3

Com a substituição , precisamos também substituir em termos de . Diferenciando , temos , ou seja, .

Passo 4

Agora, substituímos integral sec(2x) tan(2x) , dx = integral sec(u) tan(u) cdot du2 e 12 integral sec(u) tan(u) , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Sabemos que a integral de 12 integral sec(u) tan(u) , du = 12 sec(u) + C em relação a é , onde é a constante de integração. Então, aplicando isso:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original 12 sec(2x) + C substituindo :

Resposta

A integral indefinida de integral sec(2x) tan(2x) , dx = 12 sec(2x) + C é:

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