Calcule a integral definida de
f(x) = { x, se x < 0; x² - x + 1, se x ≥ 0 }
no intervalo I = [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de uma função que muda de expressão no ponto . A gente tem que calcular:
Onde é definida assim:
Então, vamos precisar entender como integrar funções diferentes em intervalos distintos e somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral no ponto onde a função muda, que é . Assim, a integral de a se divide em duas partes:
Isso facilita a resolução porque agora a gente lida com cada parte da função separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral:
Vamos integrar termo a termo:
  • A antiderivada de é
  • A antiderivada de é
  • A antiderivada de é
Então:
Para somar esses termos, vamos achar um denominador comum, que é 6:

Passo 5

Agora, vamos somar os resultados das duas integrais:
Para somar, igualamos os denominadores:

Resposta

A integral definida de no intervalo é .

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