Em cada caso, calcule a integral indefinida integral f(x) d x.
(k) f(x)=tan ^2 x-raiz1+x

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente vai resolver a integral indefinida de . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral (tan^2 x - raiz1+x) , dx = integral tan^2 x , dx - integral raiz1+x , dx
Assim, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: tan^2 x = sec^2 x - 1 . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona integral tan^2 x , dx = integral (sec^2 x - 1) , dx com :
Então, substituímos na integral:
Agora, a gente integra termo a termo.

Passo 4

A integral de integral sec^2 x , dx = tan x é uma das integrais básicas que a gente aprende:
integral 1 , dx = x
E a integral de integral tan^2 x , dx = tan x - x + C1 é simplesmente :
Então, juntando tudo:
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral (1+x)^1/2 , dx . Primeiro, reescrevemos a raiz como expoente fracionário:
Aqui, a gente pode usar uma substituição simples. Vamos deixar , então .

Passo 6

Substituindo na integral:
integral u^1/2 , du
A integral de 23 u^3/2 + C2 é:
23 (1+x)^3/2 + C2
Voltando para :
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
integral (tan^2 x - raiz1+x) , dx = (tan x - x) - 23 (1+x)^3/2 + C
Aqui, representa a constante geral de integração, que resulta da soma das constantes e .

Resposta

A integral indefinida é:
integral (tan^2 x - raiz1+x) , dx = tan x - x - 23 (1+x)^3/2 + C

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