Em cada caso, calcule a integral indefinida
.
(k)
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Passo 1
Beleza, pessoal! A gente vai resolver a integral indefinida de
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre integrais. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Assim, vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Então, substituímos na integral:
Agora, a gente integra termo a termo.
Passo 4
A integral de
é uma das integrais básicas que a gente aprende:
E a integral de
é simplesmente
:
Então, juntando tudo:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
. Primeiro, reescrevemos a raiz como expoente fracionário:
Aqui, a gente pode usar uma substituição simples. Vamos deixar
, então
.
Passo 6
Substituindo na integral:
A integral de
é:
Voltando para
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
Aqui,
representa a constante geral de integração, que resulta da soma das constantes
e
.
Resposta
A integral indefinida é: