Série Trigonométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente: sumn=1^infty sen(n)n^2
25. Série Alternada com Raiz: Determine a convergência ou divergência da seguinte série:
$$
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
$$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série alternada com raiz
sumn=1^infty(-1)^n raiznn^2+1
é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal a cada termo, geralmente por causa de um fator como (-1)^n ou (-1)^n+1. No nosso caso, temos (-1)^n, o que faz os termos alternarem entre positivos e negativos.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste das Séries Alternadas (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma
sumn=1^infty (-1)^n an
converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. A sequência an é monotonamente decrescente.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos an na nossa série:
an = raiznn^2+1
1. Positividade:
Como raizn e n^2 + 1 são sempre positivos para n >= 1, então an > 0 para todo n.
2. Monotonamente decrescente:
Vamos ver se an+1 < an para todo n a partir de certo ponto.
Observe que, conforme n aumenta, o numerador raizn cresce mais devagar comparado com o denominador n^2 + 1. Isso sugere que an está diminuindo.
Para confirmar, podemos analisar a derivada da função contínua f(x) = raizxx^2+1. Derivando:
f'(x) = 12x^-1/2(x^2 +1) - raizx(2x)(x^2 +1)^2
Simplificando, fica claro que para x >= 1, f'(x) < 0, indicando que f(x) é decrescente. Logo, an é monotonamente decrescente para n >= 1.
3. Limite:
Calculamos o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty raiznn^2+1 = limn to infty n^1/2n^2 = limn to infty 1n^3/2 = 0
Portanto, limn to infty an = 0.

Passo 5

Como todas as condições do Teste das Séries Alternadas são satisfeitas (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos concluir que a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n raiznn^2+1
é convergente.

Resposta

A série alternada sumn=1^infty(-1)^n raiznn^2+1 é convergente.

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