Série Trigonométrica: Determine se a seguinte série é convergente ou divergente:
25. Série Alternada com Raiz: Determine a convergência ou divergência da seguinte série:
$$
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+1}
$$
25. Série Alternada com Raiz: Determine a convergência ou divergência da seguinte série:
$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série alternada com raiz
é convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos de séries alternadas e testes de convergência para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal a cada termo, geralmente por causa de um fator como
ou
. No nosso caso, temos
, o que faz os termos alternarem entre positivos e negativos.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste das Séries Alternadas (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é monotonamente decrescente. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos
na nossa série:
1. Positividade:
Como
e
são sempre positivos para
, então
para todo
.
2. Monotonamente decrescente:
Vamos ver se
para todo
a partir de certo ponto.
Observe que, conforme
aumenta, o numerador
cresce mais devagar comparado com o denominador
. Isso sugere que
está diminuindo.
Para confirmar, podemos analisar a derivada da função contínua
. Derivando:
Simplificando, fica claro que para
,
, indicando que
é decrescente. Logo,
é monotonamente decrescente para
.
3. Limite:
Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Portanto,
.
Passo 5
Como todas as condições do Teste das Séries Alternadas são satisfeitas (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos concluir que a série alternada
é convergente.
Resposta
A série alternada
é convergente.