Determine a função
que satisfaz as condições:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a função
que satisfaz as condições dadas:
- A terceira derivada de
é . - As condições iniciais são
e .
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, já que integrar as derivadas nos ajuda a encontrar a função original. Vamos precisar integrar três vezes e usar as condições iniciais para descobrir as constantes que aparecem durante a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a terceira derivada para achar a segunda derivada
.
Integrando em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 3
Agora, vamos integrar a segunda derivada
para encontrar a primeira derivada
.
Integrando em relação a
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 4
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
.
Simplificando:
Então, a expressão de
fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar a função
.
Integrando em relação a
:
Aqui,
é mais uma constante de integração.
Passo 6
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
.
Simplificando:
Então, a expressão de
fica:
Passo 7
Até aqui, encontramos a função
em termos da constante
. Porém, o problema só nos deu duas condições iniciais (
e
), mas precisamos de uma terceira condição para determinar
completamente.
Como não temos uma terceira condição, a solução geral da função
que satisfaz as condições dadas é:
Onde
pode ser qualquer número real.
Resposta
A função que satisfaz as condições é:
Onde
é uma constante real.