Determine a função f(x) que satisfaz as condições: f'''(x) = x^2 + e^x, f(0) = 2, f'(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz as condições dadas:
  • A terceira derivada de é .
  • As condições iniciais são e .
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, já que integrar as derivadas nos ajuda a encontrar a função original. Vamos precisar integrar três vezes e usar as condições iniciais para descobrir as constantes que aparecem durante a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a terceira derivada para achar a segunda derivada .
Integrando em relação a :
Aqui, é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 3

Agora, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada .
Integrando em relação a :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 4

Vamos usar a condição inicial para encontrar .
Simplificando:
Então, a expressão de fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar a função .
Integrando em relação a :
Aqui, é mais uma constante de integração.

Passo 6

Vamos usar a condição inicial para encontrar .
Simplificando:
Então, a expressão de fica:

Passo 7

Até aqui, encontramos a função em termos da constante . Porém, o problema só nos deu duas condições iniciais ( e ), mas precisamos de uma terceira condição para determinar completamente.
Como não temos uma terceira condição, a solução geral da função que satisfaz as condições dadas é:
Onde pode ser qualquer número real.

Resposta

A função que satisfaz as condições é:
Onde é uma constante real.

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