Para cada caso, calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k e o campo F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k.
(b) F(x, y)=x y i+3 y^2 j, r(t)=11 t^4 i+t^3 j para 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC F cdot d r onde o campo vetorial é F(x, y) = x y i + 3 y^2 j e o caminho C é dado pela função vetorial r(t) = 11 t^4 i + t^3 j para 0 <= t <= 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a integral de linha. Ela basicamente mede o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Matematicamente, é calculada como integralC F cdot d r = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t). Isso nos dará r,'(t), que é necessário para a integral.
r,'(t) = ddt [11 t^4 i + t^3 j] = 44 t^3 i + 3 t^2 j

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na função F(x, y) para obter F(r(t)).
F(r(t)) = F(11 t^4, t^3) = (11 t^4 cdot t^3) i + 3 (t^3)^2 j = 11 t^7 i + 3 t^6 j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t).
F(r(t)) cdot r,'(t) = (11 t^7) (44 t^3) + (3 t^6) (3 t^2) = 484 t^10 + 9 t^8

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1.
integral0^1 (484 t^10 + 9 t^8) , dt = 484 cdot t^1111 g|0^1 + 9 cdot t^99 g|0^1 = 48411 (1 - 0) + 1 (1 - 0) = 44 + 1 = 45

Resposta

O valor da integral de linha é 45.

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