Para cada caso, calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k e o campo F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k.
(a) F(x, y)=-y i+x j, r(t)=t i+t^2 j do ponto (0,0) até o ponto (3,9);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e o caminho é dado pela função vetorial , indo do ponto até . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e calcular o produto escalar entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o parâmetro que vai variar. Aqui, é o nosso parâmetro que vai de 0 a 3, porque quando , , e quando , .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar drdt = ddt(t i + t^2 j) = i + 2t j , que é a derivada de dr = (i + 2t j) dt em relação a multiplicada por . Calculando:
Então,

Passo 4

Em seguida, substituímos as coordenadas F(x, y) = F(t, t^2) = -t^2 i + t j e do campo pela parametrização da curva :

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar entre F cdot dr = (-t^2 i + t j) cdot (i + 2t j) dt = (-t^2)(1) + (t)(2t) = -t^2 + 2t^2 = t^2 e :

Passo 6

Por fim, integramos essa expressão de integral0^3 t^2 dt = [t^33]0^3 = 273 - 0 = 9 até :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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