Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo: Se f é descontínua em x_0, então os limites laterais de f em x_0 são infinitos;

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se é descontínua em , então os limites laterais de em são infinitos”. Estamos estudando o tema de continuidade e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser descontínua em um ponto e o que são os limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função descontínua em um ponto . Uma função é descontínua em se o limite de quando se aproxima de não existe ou não é igual ao valor de .

Passo 3

Agora, vamos entender o que são limites laterais. O limite lateral à esquerda de em é o valor que se aproxima quando vem de valores menores que . Já o limite lateral à direita é o valor que se aproxima quando vem de valores maiores que .

Passo 4

A afirmação diz que se é descontínua em , então esses limites laterais são infinitos. Vamos verificar se isso é sempre verdade.

Passo 5

Vamos pensar em uma contradição. Se encontrarmos um exemplo onde é descontínua em , mas os limites laterais são finitos, então a afirmação é falsa.

Passo 6

Considere a função degrau, definida por:
Essa função é descontínua em porque há um salto de 1 para 2.

Passo 7

Vamos calcular os limites laterais dessa função em :
Ambos os limites laterais são finitos.

Passo 8

Como encontramos um exemplo onde é descontínua em e os limites laterais são finitos, concluímos que a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem funções descontínuas em onde os limites laterais são finitos, como no exemplo da função degrau apresentada.

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