Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando ou apresentando um contraexemplo: Se
é descontínua em
, então os limites laterais de
em
são infinitos;
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é descontínua em
, então os limites laterais de
em
são infinitos”. Estamos estudando o tema de continuidade e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser descontínua em um ponto e o que são os limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função descontínua em um ponto
. Uma função
é descontínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
não existe ou não é igual ao valor de
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são limites laterais. O limite lateral à esquerda de
em
é o valor que
se aproxima quando
vem de valores menores que
. Já o limite lateral à direita é o valor que
se aproxima quando
vem de valores maiores que
.
Passo 4
A afirmação diz que se
é descontínua em
, então esses limites laterais são infinitos. Vamos verificar se isso é sempre verdade.
Passo 5
Vamos pensar em uma contradição. Se encontrarmos um exemplo onde
é descontínua em
, mas os limites laterais são finitos, então a afirmação é falsa.
Passo 6
Considere a função degrau, definida por:
Essa função é descontínua em
porque há um salto de 1 para 2.
Passo 7
Vamos calcular os limites laterais dessa função em
:
Ambos os limites laterais são finitos.
Passo 8
Como encontramos um exemplo onde
é descontínua em
e os limites laterais são finitos, concluímos que a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa, pois existem funções descontínuas em
onde os limites laterais são finitos, como no exemplo da função degrau apresentada.