Calcular: integral x raiz[5](3 x^2-5)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular:
integral x raiz[5](3 x^2-5)^3 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial dentro de uma raiz quintas. Para resolver isso, vamos usar substituição, uma técnica que simplifica a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quinta pode ser escrita como uma potência fracionária:
raiz[5](3 x^2-5)^3 = (3x^2 - 5)^35
Então, a integral fica:
integral x (3x^2 - 5)^35 , dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição. Vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, geralmente algo que simplifique a integral. Vamos definir:
u = 3x^2 - 5

Passo 4

Precisamos encontrar o diferencial dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx em termos de x , dx = du6 . Derivando em relação a :
Isso significa que:

Passo 5

Vamos substituir integral x (3x^2 - 5)^35 , dx = integral (u)^35 cdot du6 = 16 integral u^35 , du e na integral original:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^35 , du = u^8585 + C = 58 u^85 + C :
16 cdot 58 u^85 + C = 548 u^85 + C
Multiplicando pela constante que tínhamos fora da integral:

Passo 7

Por fim, substituímos 548 (3x^2 - 5)^85 + C de volta para termos em :

Resposta

A integral é igual a:
548 (3x^2 - 5)^85 + C
onde é a constante de integração.

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