Calcular: integral 3 xraiz[3]x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral 3xraiz[3]x^2 - 4 , dx
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição para simplificar a expressão e integrar de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável nova, geralmente chamada de u = x^2 - 4 . Olhando para a integral, temos dentro da raiz cúbica. Isso parece um bom candidato para substituição.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a , ou seja, , para substituir o diferencial na integral.
Derivando em relação a :

Passo 4

Observamos que na nossa integral temos x , dx = du2 , mas do nosso cálculo, temos 3x , dx = 3 cdot du2 = 32 du . Precisamos ajustar isso para substituir corretamente.
Podemos resolver para :
Portanto,

Passo 5

Substituindo integral 3xraiz[3]x^2 - 4 , dx = integral 32 duraiz[3]u = 32 integral u^-1/3 , du e na integral original:
Aqui, usamos a propriedade que , então .

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^-1/3 , du = u^2/32/3 + C = 32 u^2/3 + C :
32 cdot 32 u^2/3 + C = 94 u^2/3 + C
Multiplicando pelo coeficiente que já tínhamos:

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original 94 (x^2 - 4)^2/3 + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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