Determine se o conjunto dado é o gráfico de uma função: C = {(x, y) em R^2 ; x^2 + y^2 = 1}

Passo 1

Vamos analisar o conjunto . Esse conjunto representa todas as possíveis combinações de e que satisfazem a equação . O conteúdo que vamos utilizar aqui é o conceito de função, especificamente o que caracteriza o gráfico de uma função no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Em matemática, uma função é uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto (domínio) está associado a apenas um elemento do segundo conjunto (contradomínio). No gráfico de uma função, isso significa que para cada valor de , deve existir um e somente um valor de .

Passo 3

Agora, vamos examinar a equação , que é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano. Isso significa que para alguns valores de , haverá dois valores correspondentes de (um positivo e um negativo), por exemplo, para , pode ser ou .

Passo 4

Para determinar se é o gráfico de uma função, aplicamos o teste da linha vertical: se uma linha vertical corta o gráfico em mais de um ponto, então não é uma função. No caso do círculo, uma linha vertical (exceto na ponta mais à direita e esquerda) irá intersectar o círculo em dois pontos, significando que para aquele , existem dois valores de .

Passo 5

Como encontramos que existem valores de que correspondem a mais de um valor de , concluímos que o conjunto não satisfaz a definição de uma função.

Resposta

O conjunto não é o gráfico de uma função, pois para alguns valores de existem dois valores de que satisfazem a equação , violando a condição de unicidade exigida para uma função.

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