Em cada caso calcule as potências
. É possível calcular
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as potências de uma matriz
elevadas de 2 até 6, ou seja,
. Além disso, também queremos saber se é possível calcular
. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e conhecer alguns conceitos básicos de álgebra linear, como a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que elevar uma matriz a uma potência significa multiplicar a matriz por ela mesma várias vezes. Por exemplo,
,
, e assim por diante. Porém, fazer isso manualmente até a potência 2022 seria muito trabalhoso, então precisamos de uma estratégia melhor.
Passo 3
Uma maneira eficiente de calcular potências altas de uma matriz é diagonalizá-la. Diagonalizar uma matriz significa escrevê-la na forma
, onde
é uma matriz diagonal (com os autovalores de
na diagonal) e
é uma matriz cujas colunas são os vetores próprios correspondentes.
Passo 4
Se a matriz
for diagonalizável, podemos facilmente calcular
. Isso porque elevar uma matriz diagonal a uma potência
é simples: basta elevar cada elemento da diagonal a
. Esta propriedade facilita muito o cálculo de potências altas como
.
Passo 5
Então, para calcular
, primeiro vamos diagonalizar a matriz
(se possível). Depois, elevamos a matriz diagonal
a cada uma dessas potências e, por fim, reconvertimos para a forma original usando
e
.
Passo 6
Quanto a calcular
, se conseguirmos diagonalizar
, o processo será o mesmo, apenas com
. A vantagem da diagonalização é que, mesmo para potências muito grandes, como 2022, o cálculo permanece simples e viável.
Resposta
Sim, é possível calcular
usando a diagonalização da matriz
, desde que
seja diagonalizável. Assim, podemos aplicar a mesma técnica usada para calcular as potências de 2 até 6.