Sejam y=[l4 8 1], u1=[l2 / 3 1 / 3 2 / 3], u2=[r-2 / 3 2 / 3 1 / 3] e W=Lu1, u2.
b) Calcule projW y e (U U^T) y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor y = 4 8 1 e dois vetores u1 = 2/3 1/3 2/3 e u2 = -2/3 2/3 1/3. O espaço W é gerado por esses dois vetores, ou seja, W = Lu1, u2. A parte (b) da questão pede para calcular a projeção de y em W, denotada por projW y, e também calcular (U U^T) y, onde U é a matriz cujas colunas são u1 e u2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz U. Como U é formada pelas colunas u1 e u2, temos:
U = 23 & -23 13 & 23 23 & 13

Passo 3

Para calcular projW y, usamos a fórmula da projeção de um vetor em um subespa��o gerado pelas colunas de U. A fórmula é:
projW y = U (U^T U)^-1 U^T y
Vamos calcular cada parte passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos U^T U:
U^T U = 23 & 13 & 23 -23 & 23 & 13 23 & -23 13 & 23 23 & 13
Vamos multiplicar:
U^T U = (23cdot23) + (13cdot13) + (23cdot23) & (23cdot -23) + (13cdot 23) + (23cdot 13) (-23cdot23) + (23cdot13) + (13cdot23) & (-23cdot -23) + (23cdot 23) + (13cdot 13)
Simplificando:
U^T U = 49 + 19 + 49 & -49 + 29 + 29 -49 + 29 + 29 & 49 + 49 + 19 = 99 & 0 0 & 99 = 1 & 0 0 & 1

Passo 5

Agora, calculamos (U^T U)^-1. Mas, como U^T U é a matriz identidade, sua inversa também é a identidade:
(U^T U)^-1 = 1 & 0 0 & 1

Passo 6

Com isso, a fórmula da projeção simplifica para:
projW y = U cdot I cdot U^T y = U U^T y
Interessante, isso mostra que projW y é igual a (U U^T) y.

Passo 7

Mas vamos calcular projW y diretamente. Primeiro, calculamos U^T y:
U^T y = 23 & 13 & 23 -23 & 23 & 13 4 8 1 = 23cdot4 + 13cdot8 + 23cdot1 -23cdot4 + 23cdot8 + 13cdot1
Calculando cada entrada:
Primeira linha:
83 + 83 + 23 = 183 = 6
Segunda linha:
-83 + 163 + 13 = 93 = 3
Então:
U^T y = 6 3

Passo 8

Agora, multiplicamos (U^T U)^-1 por U^T y:
(U^T U)^-1 U^T y = I cdot 6 3 = 6 3

Passo 9

Finalmente, multiplicamos U por esse resultado para obter a projeção:
projW y = U 6 3 = 6 cdot u1 + 3 cdot u2
Calculando:
6 cdot u1 = 6 cdot 23 13 23 = 4 2 4
3 cdot u2 = 3 cdot -23 23 13 = -2 2 1
Somando:
projW y = 4 2 4 + -2 2 1 = 2 4 5

Resposta

A projeção de y em W é 2 4 5 e (U U^T) y também é igual a 2 4 5.

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