Sejam u1=[r1 1 -2], u2=[r5 -1 2], u3=[l0 0 1]. Note que u1 e u2 são ortogonais, mas u3 não é ortogonal a u1 nem a u2. Pode-se mostrar que u3 não pertence ao subespaço W gerald por u1 e u2. Use este fato para construir um vetor não nulo v em R^3 que é ortogonal а u1 e a u2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3: u1, u2 e u3. Sabemos que u1 e u2 são ortogonais entre si, ou seja, formam um ângulo de 90 graus. Além disso, u3 não pertence ao subespaço W gerado por u1 e u2. Nosso objetivo é encontrar um vetor não nulo v que seja ortogonal tanto a u1 quanto a u2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto vetorial.

Passo 2

Como u1 e u2 são vetores ortogonais no espaço tridimensional, eles formam um plano. Qualquer vetor que seja ortogonal a esse plano será ortogonal tanto a u1 quanto a u2. Uma maneira de encontrar esse vetor é calcular o produto vetorial entre u1 e u2.
O produto vetorial de dois vetores a = a1 a2 a3 e b = b1 b2 b3 é dado por:
a times b = a2 b3 - a3 b2 a3 b1 - a1 b3 a1 b2 - a2 b1
Esse vetor resultante será ortogonal a ambos a e b.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial entre u1 e u2:
v = u1 times u2 = 1 1 -2 times 5 -1 2
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
v = (1)(2) - (-2)(-1) (-2)(5) - (1)(2) (1)(-1) - (1)(5) = 2 - 2 -10 - 2 -1 - 5 = 0 -12 -6

Passo 4

Verificamos que o vetor v obtido é não nulo e ortogonal a u1 e u2. Para confirmar a ortogonalidade, podemos calcular o produto escalar:
u1 cdot v = (1)(0) + (1)(-12) + (-2)(-6) = 0 - 12 + 12 = 0
u2 cdot v = (5)(0) + (-1)(-12) + (2)(-6) = 0 + 12 - 12 = 0
Como os produtos escalares são zero, v é realmente ortogonal a u1 e u2.

Resposta

Um vetor não nulo que é ortogonal a u1 e u2 é:
v = 0 -12 -6

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