Encontre a melhor aproximação de z por vetores da forma c1 v1+c2 c2.
z=[r 3 -7 2 3 ], v1=[r 2 -1 -3 1 ], v2=[r 1 1 0 -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a melhor aproximação do vetor z usando combinações lineares dos vetores v1 e v2. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que nos ajuda a encontrar os coeficientes c1 e c2 que minimizam a diferença entre z e c1 v1 + c2 v2.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Vamos chamar a matriz de A, onde cada coluna é um dos vetores v1 e v2:
A = 2 & 1 -1 & 1 -3 & 0 1 & -1 , c = c1 c2 , z = 3 -7 2 3
A ideia é resolver Ac = z de forma que a diferença seja mínima.

Passo 3

Como não temos uma solução exata (pois o sistema pode ser incompatível), vamos usar o método dos mínimos quadrados, que resolve a equação normal:
A^TAc = A^Tz
Aqui, A^T é a transposta da matriz A.

Passo 4

Vamos calcular A^TA:
A^TA = 2 & -1 & -3 & 1 1 & 1 & 0 & -1 2 & 1 -1 & 1 -3 & 0 1 & -1 = 2(2) + (-1)(-1) + (-3)(-3) + 1(1) & 2(1) + (-1)(1) + (-3)(0) + 1(-1) 1(2) + 1(-1) + 0(-3) + (-1)(1) & 1(1) + 1(1) + 0(0) + (-1)(-1)
Calculando cada elemento:
A^TA = 4 + 1 + 9 + 1 & 2 -1 + 0 -1 2 -1 + 0 -1 & 1 + 1 + 0 + 1 = 15 & 0 0 & 3

Passo 5

Agora, vamos calcular A^Tz:
A^Tz = 2 & -1 & -3 & 1 1 & 1 & 0 & -1 3 -7 2 3 = 2(3) + (-1)(-7) + (-3)(2) + 1(3) 1(3) + 1(-7) + 0(2) + (-1)(3)
Calculando cada elemento:
A^Tz = 6 + 7 -6 +3 3 -7 +0 -3 = 10 -7

Passo 6

Agora, temos o sistema:
15 & 0 0 & 3 c1 c2 = 10 -7
Como a matriz A^TA é diagonal, fica fácil resolver para c1 e c2:
15c1 = 10 Rightarrow c1 = 1015 = 23
3c2 = -7 Rightarrow c2 = -73

Resposta

A melhor aproximação de z é dada por:
zaprox = 23 v1 - 73 v2 = 23 2 -1 -3 1 - 73 1 1 0 -1
Calculando cada componente:
zaprox = 43 - 73 -23 - 73 -2 - 0 23 + 73 = -1 -3 -2 3
Então, a melhor aproximação de z é:
zaprox = -1 -3 -2 3

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