Em cada caso:
(a) (b)
i) Determine as matrizes e escalonada reduzida, linha equivalente a , tais que
ii) A é invertível? Justifique. Caso afirmativo determine a inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! Nosso objetivo aqui é manipular as matrizes para encontrar uma forma escalonada reduzida e verificar se elas são invertíveis. Para isso, vamos usar conceitos de algebra linear, como operações de linha e propriedades das matrizes invertíveis. Precisaremos encontrar as matrizes F (que representa as operações de linha) e R (a matriz escalonada reduzida) tal que F \cdot A = R. Depois, vamos verificar se a matriz A é invertível e, se for, determinar sua inversa.

Parte (a)

Matriz:

i) Determinar as matrizes e

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a matriz A na forma escalonada reduzida R usando operações de linha. Essas operações são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha em outra linha.
Vamos registrar cada operação que fizermos, pois elas formarão a matriz F.

Passo 3

Operação 1: Queremos zerar o elemento abaixo do primeiro 1 na primeira coluna (elemento ). Para isso, vamos subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2.
Aplicando essa operação:

Passo 4

Operação 2: Agora, queremos zerar o elemento , que já é 0, então nada precisa ser feito aqui. Vamos passar para a coluna seguinte.

Passo 5

Operação 3: Vamos zerar o elemento . Para isso, subtraímos a linha 2 da linha 3.
Aplicando a operação:

Passo 6

Agora, a matriz está na forma escalonada, mas queremos a forma escalonada reduzida. Vamos garantir que cada pivô seja 1 e que todos os elementos acima e abaixo dos pivôs sejam 0.
No nosso caso, já temos pivôs 1 nas posições e , e os outros elementos abaixo são 0.
Então, a matriz R já está na forma escalonada reduzida:

Passo 7

Agora, vamos montar a matriz F que representa todas as operações de linha que fizemos. Cada operação pode ser representada por uma matriz elementar, e a matriz F é o produto dessas matrizes elementares na ordem inversa das operações aplicadas.
Operação 1:
Operação 3:
Então, a matriz F é o produto :

[
F = E2 \cdot E1 =

\cdot


]

ii) A é invertível? Justifique. Caso afirmativo, determine a inversa.

Passo 8

Para saber se a matriz A é invertível, precisamos verificar se ela possui determinante diferente de zero. Outra forma é observar se a forma escalonada reduzida R tem todas as linhas com pivôs (ou seja, nenhuma linha totalmente zero).
No nosso caso, a matriz R tem uma linha toda zero, o que indica que a matriz A não é invertível.

Passo 9

Vamos repetir o processo para a segunda matriz A. Queremos transformá-la na forma escalonada reduzida R usando operações de linha e encontrar a matriz F que realiza essas operações, de modo que F \cdot A = R.

i) Determinar as matrizes e

Passo 10

Operação 1: Vamos zerar o elemento abaixo do primeiro 1 na primeira coluna ( ). Para isso, subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2.
Aplicando a operação:

Passo 11

Operação 2: Queremos zerar o elemento , que já é 0, então nada precisa ser feito aqui. Vamos para a segunda coluna.

Passo 12

Operação 3: Agora, vamos tornar o coeficiente igual a 1. Para isso, multiplicamos a linha 2 por -1.
Aplicando a operação:

Passo 13

Operação 4: Vamos zerar o elemento . Subtraímos a linha 2 da linha 3.
Aplicando a operação:

Passo 14

Agora, queremos garantir que todos os elementos acima dos pivôs sejam zero. Vamos zerar e .
Operação 5: Zerar . Subtraímos 3 vezes a linha 2 da linha 1.
Aplicando a operação:
Operação 6: Zerar . Adicionamos 3 vezes a linha 3 à linha 1.
Aplicando a operação:

Passo 15

A matriz está agora na forma escalonada reduzida:

Passo 16

Vamos montar a matriz F com as operações realizadas:
Operação 1:
Operação 3:
Operação 4:
Operação 5:
Operação 6:
Então, a matriz F é o produto :
Calculando passo a passo:
Primeiro, :

[

\cdot


]
Depois, multiplicando pelo próximo :

[

\cdot


]
Continuando com :

[

\cdot


]
Finalmente, multiplicando por :

[

\cdot


]
Portanto, a matriz F final é:

ii) A é invertível? Justifique. Caso afirmativo, determine a inversa.

Passo 17

Para verificar se a matriz A é invertível, vamos observar sua forma escalonada reduzida R. Se R for a matriz identidade, isso significa que A é invertível e F é sua inversa.
No nosso caso, R é:
Não é a matriz identidade, mas podemos continuar o processo para encontrar se é invertível. Outra abordagem é calcular o determinante de A.
Vamos calcular o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível.

Passo 18

Para encontrar a inversa de A, usamos a matriz F que obtivemos anteriormente. Porém, nesse caso, como F \cdot A = R e R não é a identidade, precisamos continuar realizando operações até que R seja a identidade.
Vamos continuar de onde paramos na Parte (b):
Nossa forma escalonada reduzida R é:
Queremos transformar R na identidade. Para isso, vamos zerar o elemento .
Operação 7: Subtrair a linha 3 da linha 2.
Aplicando a operação:
Agora, R é a matriz identidade. Precisamos aplicar a mesma operação na matriz F para obter a inversa.
Operação 7:
Portanto, a inversa de A é:

Resposta

i) As matrizes e são:
ii) A matriz A é invertível. Sua inversa é:

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