Determine se os pontos abaixo formam triângulos ou se estão alinhados no plano. No primeiro caso determine a área dos triângulos formados. (2,5),(1/4,1/2),(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano: (2,5), (1/4,1/2) e (0,0). O exercício pede pra gente descobrir se esses pontos formam um triângulo ou se estão todos alinhados numa reta. Se formarem um triângulo, a gente também precisa calcular a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria básica e fórmulas matemáticas para verificar a posição dos pontos e calcular a área se for o caso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os pontos estão alinhados numa reta. Para isso, podemos comparar as inclinações das retas que ligam esses pontos. Se a inclinação entre o primeiro e o segundo ponto for a mesma que entre o primeiro e o terceiro, os três pontos estão alinhados.
A fórmula para calcular a inclinação (m) entre dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e m1 = 12 - 514 - 2 = -92-74 = -9/2-7/4 = -92 times -47 = 3614 = 187 é:
m2 = 0 - 50 - 2 = -5-2 = 52
Vamos calcular a inclinação entre (2,5) e (1/4,1/2):
Agora, a inclinação entre (2,5) e (0,0):
Como e , que são diferentes, os pontos não estão alinhados numa única reta. Isso significa que eles formam um triângulo.

Passo 3

Agora que sabemos que os pontos formam um triângulo, vamos calcular a área desse triângulo. Uma maneira prática de fazer isso é usando a fórmula da área baseada nas coordenadas dos três pontos:
Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | Á
Vamos identificar os pontos:
  • Área &= 12 | 2(12 - 0) + 14(0 - 5) + 0(5 - 12) | &= 12 | 2 times 12 + 14 times (-5) + 0 times 92 | &= 12 | 1 - 54 + 0 | &= 12 | -14 | &= 12 times 14 &= 18 com e
  • com e
  • com e
Substituindo na fórmula:
Á

Resposta

Os pontos (2,5), (1/4,1/2) e (0,0) formam um triângulo com área igual a unidades de área.

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