En cada caso clasifica la ecuación diferencial de acuerdo a los criterios estudiados:
e^x d^2y/dx^2 + sen(x) dy/dx = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é classificar essa equação de acordo com os critérios que estudamos. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de equações diferenciais, como ordem, linearidade e se a equação é homogênea ou não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é dada pelo maior índice de derivada presente na equação.
Aqui, temos:
  • d²y/dx² (segunda derivada)
  • d/y d/x (primeira derivada)
Então, a maior derivada é a segunda derivada. Portanto, a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é dita linear se pode ser escrita na forma:
onde são funções de x e não há termos onde y ou suas derivadas são multiplicados entre si ou elevados a alguma potência.
Na nossa equação:
não há termos como ou , etc. Então, a equação é linear.

Passo 4

Por fim, vamos ver se a equação é homogênea ou não homogênea. Uma equação diferencial linear é homogênea se o lado direito ( g(x)) é igual a zero. Caso contrário, é não homogênea.
Na nossa equação:
o lado direito é x, que não é zero. Portanto, a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial dada é linear, de segunda ordem e não homogênea.

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