En cada caso clasifica la ecuación diferencial de acuerdo a los criterios estudiados:
(d^3 y)/(d x^3)^2 - 2(d y)/(d x)^4 + x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou! A gente precisa classificar a equação diferencial que está escrita assim:
Pra resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de equações diferenciais, como ordem, linearidade e homogeneidade. Estes vão nos ajudar a entender melhor que tipo de equação estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é definida pelo mais alto derivado presente na equação.
Aqui, temos:
  • que é a terceira derivada de em relação a .
Então, a ordem da equação é 3.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear ou não linear. Uma equação diferencial é linear se todas as derivadas de aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si ou por funções de .
Na nossa equação:
  • Temos , que é a terceira derivada elevada ao quadrado.
  • Também temos , que é a primeira derivada elevada à quarta potência.
Como as derivadas estão elevadas a potências diferentes de 1, isso torna a equação não linear.

Passo 4

Vamos agora analisar a homogeneidade da equação. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependerem apenas de e suas derivadas, sem termos independentes.
Na nossa equação:
  • Temos todos os termos envolvendo , suas derivadas e uma função de multiplicando .
No entanto, o termo sugere que a equação pode não ser homogênea, pois há uma dependência explícita de . Mas, para ser mais preciso, precisamos lembrar que a definição de homogeneidade pode variar um pouco dependendo do contexto. No caso mais comum, consideramos não homogênea se há termos que dependem apenas de ou são constantes. Como não há termos somente de ou constantes, podemos considerar a equação homogênea neste contexto.

Passo 5

Por último, vamos resumir tudo:
  • Ordem: 3 (pela terceira derivada presente)
  • Linearidade: Não linear (devido às potências das derivadas)
  • Homogeneidade: Homogênea (já que todos os termos envolvem ou suas derivadas)

Resposta

A equação diferencial dada é de terceira ordem, não linear e homogênea.

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