Determine o Domínio das seguintes funções: h(x) = raiz((x + 2) / (x^2 - 4))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o domínio da função . Isso significa encontrar todos os valores de que deixam a expressão dentro da raiz quadrada válida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações, além de saber como evitar dividir por zero e ter raízes de números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa. Ou seja, . Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 3

Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, precisamos encontrar os valores de que fazem .

Passo 4

Resolvendo :
Portanto, não pode ser nem .

Passo 5

Agora, vamos resolver a desigualdade . Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador .

Passo 6

Dividindo a reta numérica nos pontos críticos e , que são onde o numerador e o denominador se anulam. Isso nos dá três intervalos para analisar:

Passo 7

Analisando cada intervalo:
  1. Para :
    • (porque , quadrado é positivo e maior que 4)
    • (negativo dividido por positivo é negativo)
  2. Para :
    • (porque , quadrado menor que 4)
    • (positivo dividido por negativo é negativo)
  3. Para :
    • (positivo dividido por positivo é positivo)

Passo 8

Queremos que . Pelo que vimos:
  • Nos intervalos e , a expressão é negativa.
  • No intervalo , a expressão é positiva.
Também precisamos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
No entanto, está excluído porque o denominador também se anula lá, então não está no domínio.

Resposta

O domínio da função é .

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