Determine o Domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o domínio da função
. Isso significa encontrar todos os valores de
que deixam a expressão dentro da raiz quadrada válida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações, além de saber como evitar dividir por zero e ter raízes de números negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa. Ou seja,
. Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Passo 3
Além disso, o denominador da fração
não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, precisamos encontrar os valores de
que fazem
.
Passo 4
Resolvendo
:
Portanto,
não pode ser
nem
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Vamos analisar os sinais do numerador
e do denominador
.
Passo 6
Dividindo a reta numérica nos pontos críticos
e
, que são onde o numerador e o denominador se anulam. Isso nos dá três intervalos para analisar:
Passo 7
Analisando cada intervalo:
-
Para
: -
-
(porque , quadrado é positivo e maior que 4) -
(negativo dividido por positivo é negativo)
-
-
Para
: -
-
(porque , quadrado menor que 4) -
(positivo dividido por negativo é negativo)
-
-
Para
: -
-
-
(positivo dividido por positivo é positivo)
-
Passo 8
Queremos que
. Pelo que vimos:
- Nos intervalos
e , a expressão é negativa. - No intervalo
, a expressão é positiva.
Também precisamos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
No entanto,
está excluído porque o denominador também se anula lá, então não está no domínio.
Resposta
O domínio da função
é
.