Em cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. A função é
. Para derivar essa função em relação a
, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, como
, onde
, a derivada em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
. Como
é tratado como uma constante, a derivada de
é
e a derivada de
é 0.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Usamos novamente a regra da cadeia para derivar
em relação a
.
Passo 8
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 9
Derivando
em relação a
, onde
é constante:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
As derivadas parciais são: