Em cada caso, dada , encontre: & :
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa encontrar as derivadas parciais em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a . A função é . Para derivar essa função em relação a , usamos a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, como , onde , a derivada em relação a é vezes a derivada de em relação a .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a . Como é tratado como uma constante, a derivada de é e a derivada de é 0.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 7

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Usamos novamente a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 9

Derivando em relação a , onde é constante:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Seja a função definida abaixo, determine seu domínio e imagem e faça seu gráfico. Essa função é contínua nos pontos e 0 ?
Em cada caso, dada , encontre: & :
;
Calcule as integrais definidas.
$(f) ;