Seja a função definida abaixo, determine seu domínio e imagem e faça seu gráfico. Essa função é contínua nos pontos e 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O que precisamos fazer:
  1. Determinar o domínio da função.
  2. Encontrar a imagem da função.
  3. Fazer o gráfico da função.
  4. Verificar se a função é contínua nos pontos , e .
Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções por partes, domínio, imagem, gráficos de funções e continuidade.

Passo 2

Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição de :
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .
Não há nenhuma restrição que impeça de assumir valores dentro desses intervalos. Portanto, o domínio é:

Passo 3

Encontrar a imagem da função.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Vamos analisar cada parte:
  1. Para , :
    • Quando , .
    • Quando se aproxima de 0, se aproxima de 0.
    • Portanto, nessa parte, varia de 0 a 1.
  2. Para , :
    • é constantemente igual a 1.
  3. Para , :
    • Quando , .
    • À medida que aumenta, aumenta sem limite.
    • Portanto, varia de 1 ao infinito.
Juntando tudo:
Então, a imagem é todos os números reais maiores ou iguais a 0.

Passo 4

Fazer o gráfico da função.
Vamos plotar cada parte da função separadamente:
  1. Para , :
    • Linha reta decrescendo de a .
    • No ponto , a função se aproxima de 0, mas não inclui .
  2. Para , :
    • Linha horizontal de a .
    • Inclui mas não inclui .
  3. Para , :
    • Parabólica começando de e aumentando para a direita.
No gráfico, é importante marcar os pontos onde as peças se conectam e indicar se os pontos finais estão incluídos (círculos fechados) ou não (círculos abertos).

Passo 5

Verificar a continuidade nos pontos , e .
Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda e à direita desse ponto existir e for igual ao valor da função nesse ponto.
  1. No ponto :
    • Limitando à esquerda: Não há definição para , então não consideramos.
    • Limitando à direita: .
    • .
    • Como o limite e o valor da função coincidem, a função é contínua em .
  2. No ponto :
    • Limitando à esquerda: .
    • Limitando à direita: .
    • .
    • Os limites pela esquerda e pela direita não são iguais. Portanto, a função não é contínua em .
  3. No ponto :
    • Limitando à esquerda: .
    • Limitando à direita: .
    • .
    • Como o limite e o valor da função coincidem, a função é contínua em .

Resposta

O domínio de é e . A imagem de é . O gráfico da função apresenta uma reta decrescente de a , uma linha horizontal em de a , e uma parábola crescente para . A função é contínua nos pontos e , mas não é contínua em .

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