Seja a função definida abaixo, determine seu domínio e imagem e faça seu gráfico. Essa função é contínua nos pontos e 0 ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O que precisamos fazer:
Determinar o domínio da função.
Encontrar a imagem da função.
Fazer o gráfico da função.
Verificar se a função é contínua nos pontos , e .
Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções por partes, domínio, imagem, gráficos de funções e continuidade.
Passo 2
Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando a definição de :
Para , .
Para , .
Para , .
Não há nenhuma restrição que impeça de assumir valores dentro desses intervalos. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Encontrar a imagem da função.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Vamos analisar cada parte:
Para , :
Quando , .
Quando se aproxima de 0, se aproxima de 0.
Portanto, nessa parte, varia de 0 a 1.
Para , :
é constantemente igual a 1.
Para , :
Quando , .
À medida que aumenta, aumenta sem limite.
Portanto, varia de 1 ao infinito.
Juntando tudo:
Então, a imagem é todos os números reais maiores ou iguais a 0.
Passo 4
Fazer o gráfico da função.
Vamos plotar cada parte da função separadamente:
Para , :
Linha reta decrescendo de a .
No ponto , a função se aproxima de 0, mas não inclui .
Para , :
Linha horizontal de a .
Inclui mas não inclui .
Para , :
Parabólica começando de e aumentando para a direita.
No gráfico, é importante marcar os pontos onde as peças se conectam e indicar se os pontos finais estão incluídos (círculos fechados) ou não (círculos abertos).
Passo 5
Verificar a continuidade nos pontos , e .
Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda e à direita desse ponto existir e for igual ao valor da função nesse ponto.
No ponto :
Limitando à esquerda: Não há definição para , então não consideramos.
Limitando à direita: .
.
Como o limite e o valor da função coincidem, a função é contínua em .
No ponto :
Limitando à esquerda: .
Limitando à direita: .
.
Os limites pela esquerda e pela direita não são iguais. Portanto, a função não é contínua em .
No ponto :
Limitando à esquerda: .
Limitando à direita: .
.
Como o limite e o valor da função coincidem, a função é contínua em .
Resposta
O domínio de é e . A imagem de é . O gráfico da função apresenta uma reta decrescente de a , uma linha horizontal em de a , e uma parábola crescente para . A função é contínua nos pontos e , mas não é contínua em .