Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para :
c)
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos trabalhando com o conjunto dos números inteiros, ou seja, . Temos duas condições:
  • : e
  • :
A pergunta é para decidir se é uma condição necessária e/ou suficiente para . Vamos precisar entender o que são essas condições para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as definições:
  • Condição Necessária: é necessária para se, sempre que é verdadeiro, também é verdadeiro. Em outras palavras, não pode acontecer sem que aconteça.
  • Condição Suficiente: é suficiente para se, sempre que é verdadeiro, também é verdadeiro. Ou seja, garante que acontece.
Vamos analisar cada uma dessas condições com base nas nossas proposições.

Passo 3

Primeiro, vejamos quais valores de satisfazem :
  • e dentro dos números inteiros somente dá .
Agora, olhemos para :
Isso significa que e são, na prática, a mesma coisa dentro do universo .

Passo 4

Vamos verificar a condição necessária:
  • Sempre que é verdadeiro ( ), também é verdadeiro ( e ).
Portanto, é uma condição necessária para .
Agora, a condição suficiente:
  • Sempre que é verdadeiro ( ), também é verdadeiro ( ).
Logo, também é uma condição suficiente para .

Resposta

é condição necessária e suficiente para .

Exercícios relacionados

Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para :
a)

Considerando como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
e)
Tomando como o universo de discurso, transcreva cada proposição quantificada a seguir para linguagem natural e decida seu valor lógico.
e)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
a)