Considerando N como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
e) (n^2 - n) / n = n - 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma proposição que envolve números naturais ( ) e uma expressão matemática: . Nosso objetivo aqui é verificar se essa igualdade é verdadeira para algum número natural ou se ela nem sempre funciona. Para isso, precisamos entender um pouco sobre álgebra básica e como manipular expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão à esquerda da igualdade . Para simplificar, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Viu só? A simplificação nos leva exatamente à expressão da direita, que é . Isso sugere que, para todo número natural , a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Mas, para ter certeza de que isso sempre funciona, vamos testar com alguns números naturais específicos. Por exemplo, vamos escolher :
E
Aqui, os dois lados são iguais, confirmando que a igualdade vale para .
Vamos testar outro, :
E
De novo, os dois lados são iguais. Parece que a igualdade funciona para esses casos.

Resposta

A igualdade é válida para todo número natural . Por exemplo, para :
E
Portanto, a proposição é verdadeira.

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