Considerando
como o universo de discurso, dê um exemplo e/ou um contraexemplo - quando possível - para cada uma das proposições abertas a seguir:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma proposição que envolve números naturais (
) e uma expressão matemática:
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa igualdade é verdadeira para algum número natural
ou se ela nem sempre funciona. Para isso, precisamos entender um pouco sobre álgebra básica e como manipular expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão à esquerda da igualdade
. Para simplificar, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Viu só? A simplificação nos leva exatamente à expressão da direita, que é
. Isso sugere que, para todo número natural
, a igualdade é verdadeira.
Passo 3
Mas, para ter certeza de que isso sempre funciona, vamos testar com alguns números naturais específicos. Por exemplo, vamos escolher
:
E
Aqui, os dois lados são iguais, confirmando que a igualdade vale para
.
Vamos testar outro,
:
E
De novo, os dois lados são iguais. Parece que a igualdade funciona para esses casos.
Resposta
A igualdade
é válida para todo número natural
. Por exemplo, para
:
E
Portanto, a proposição é verdadeira.