Em cada caso, decida se é condição necessária e/ou suficiente para : Universo de discurso:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidir se a proposição é condição necessária e/ou suficiente para a proposição . Estamos trabalhando com números naturais ( ). Precisamos entender primeiro o que são condições necessárias e suficientes e depois aplicar isso às proposições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa uma condição necessária e uma condição suficiente:
  • Condição necessária: é uma condição necessária para se sempre que for verdadeiro, também for verdadeiro. Em termos de lógica, isso é representado por .
  • Condição suficiente: é uma condição suficiente para se sempre que for verdadeiro, também for verdadeiro. Isso é representado por .

Passo 3

Agora, vamos analisar as proposições dadas:
  • Universo de discurso: (conjunto dos números naturais, geralmente )
Vamos interpretar :
afirma que é maior que 0 e menor que 2. Nos números naturais, isso só pode ser verdade quando , já que e não satisfazem ambas as condições.

Passo 4

Então, na realidade:
  • é verdadeiro apenas quando .
  • também afirma que .
Isso significa que e são equivalentes neste universo de discurso, ou seja, sempre que é verdadeiro, também é verdadeiro, e vice-versa.

Passo 5

Vamos verificar as implicações:
  1. : Se é verdadeiro ( ), então é verdadeiro ( ). Isso é sempre verdade.
  2. : Se é verdadeiro ( ), então é verdadeiro ( ). Isso também é sempre verdade.

Passo 6

Como ambas as implicações são verdadeiras, concluímos que é tanto uma condição necessária quanto suficiente para .

Resposta

é uma condição necessária e suficiente para .

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