Em cada caso, decida se
é condição necessária e/ou suficiente para
: Universo de discurso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidir se a proposição
é condição necessária e/ou suficiente para a proposição
. Estamos trabalhando com números naturais (
). Precisamos entender primeiro o que são condições necessárias e suficientes e depois aplicar isso às proposições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa uma condição necessária e uma condição suficiente:
-
Condição necessária:
é uma condição necessária para se sempre que for verdadeiro, também for verdadeiro. Em termos de lógica, isso é representado por . -
Condição suficiente:
é uma condição suficiente para se sempre que for verdadeiro, também for verdadeiro. Isso é representado por .
Passo 3
Agora, vamos analisar as proposições dadas:
- Universo de discurso:
(conjunto dos números naturais, geralmente ) -
-
Vamos interpretar
:
Passo 4
Então, na realidade:
-
é verdadeiro apenas quando . -
também afirma que .
Isso significa que
e
são equivalentes neste universo de discurso, ou seja, sempre que
é verdadeiro,
também é verdadeiro, e vice-versa.
Passo 5
Vamos verificar as implicações:
-
: Se é verdadeiro ( ), então é verdadeiro ( ). Isso é sempre verdade. -
: Se é verdadeiro ( ), então é verdadeiro ( ). Isso também é sempre verdade.
Passo 6
Como ambas as implicações são verdadeiras, concluímos que
é tanto uma condição necessária quanto suficiente para
.
Resposta
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Escreva a recíproca e a contrapositiva dos seguintes condicionais: se
é um número racional, então
é um número racional
Determine o valor-verdade de cada uma das seguintes proposições:
ou
se, e somente se,
e
Escreva a recíproca e a contrapositiva dos seguintes condicionais: se
, então
Escreva a recíproca e a contrapositiva dos seguintes condicionais: se
é par, então
não é par