Em cada caso, decomponha como uma soma com v1 paralelo a w e v2 ortogonal a w.
(i) v=(3,1,-1), w=(1,2,-1)
(ii) v=(2,3,1), w=(4,-2,1)
(iii) v=(-1,-3,2), w=(0,1,3)
Passo 1
Vamos decompor o vetor v = (3,1,-1) em duas partes: v1, que é paralelo a w = (1,2,-1), e v2, que é ortogonal a w. Para isso, vamos precisar usar a projeção de vetores.
Passo 2
Primeiro, calculamos o produto escalar de v e w:
v cdot w = 3 times 1 + 1 times 2 + (-1) times (-1) = 3 + 2 + 1 = 6
Passo 3
Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de w:
|w|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6
Passo 4
Agora, encontramos v1 usando a fórmula da projeção:
v1 = (v cdot w|w|^2) w = (66) (1,2,-1) = (1,2,-1)
Passo 5
Finalmente, obtemos v2 subtraindo v1 de v:
v2 = v - v1 = (3,1,-1) - (1,2,-1) = (2,-1,0)
Passo 6
Vamos decompor o vetor v = (2,3,1) em duas partes: v1, que é paralelo a w = (4,-2,1), e v2, que é ortogonal a w. Usaremos a projeção de vetores para isso.
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar de v e w:
v cdot w = 2 times 4 + 3 times (-2) + 1 times 1 = 8 - 6 + 1 = 3
Passo 8
Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de w:
|w|^2 = 4^2 + (-2)^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21
Passo 9
Agora, encontramos v1 usando a fórmula da projeção:
v1 = (v cdot w|w|^2) w = (321) (4,-2,1) = (17) (4,-2,1) = (47, -27, 17)
Vamos decompor o vetor v = (-1,-3,2) em duas partes: v1, que é paralelo a w = (0,1,3), e v2, que é ortogonal a w. Para isso, utilizaremos a projeção de vetores.
Passo 12
Primeiro, calculamos o produto escalar de v e w:
v cdot w = (-1) times 0 + (-3) times 1 + 2 times 3 = 0 - 3 + 6 = 3
Passo 13
Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de w:
|w|^2 = 0^2 + 1^2 + 3^2 = 0 + 1 + 9 = 10
Passo 14
Agora, encontramos v1 usando a fórmula da projeção:
v1 = (v cdot w|w|^2) w = (310) (0,1,3) = (0, 310, 910)