Em cada caso, decomponha v como uma soma v=v1+v2 com v1 paralelo a w e v2 ortogonal a w.
(i) v=(3,1,-1), w=(1,2,-1)
(ii) v=(2,3,1), w=(4,-2,1)
(iii) v=(-1,-3,2), w=(0,1,3)

Passo 1

Vamos decompor o vetor v = (3,1,-1) em duas partes: v1, que é paralelo a w = (1,2,-1), e v2, que é ortogonal a w. Para isso, vamos precisar usar a projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto escalar de v e w:
v cdot w = 3 times 1 + 1 times 2 + (-1) times (-1) = 3 + 2 + 1 = 6

Passo 3

Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de w:
|w|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6

Passo 4

Agora, encontramos v1 usando a fórmula da projeção:
v1 = (v cdot w|w|^2) w = (66) (1,2,-1) = (1,2,-1)

Passo 5

Finalmente, obtemos v2 subtraindo v1 de v:
v2 = v - v1 = (3,1,-1) - (1,2,-1) = (2,-1,0)

Passo 6

Vamos decompor o vetor v = (2,3,1) em duas partes: v1, que é paralelo a w = (4,-2,1), e v2, que é ortogonal a w. Usaremos a projeção de vetores para isso.

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar de v e w:
v cdot w = 2 times 4 + 3 times (-2) + 1 times 1 = 8 - 6 + 1 = 3

Passo 8

Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de w:
|w|^2 = 4^2 + (-2)^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21

Passo 9

Agora, encontramos v1 usando a fórmula da projeção:
v1 = (v cdot w|w|^2) w = (321) (4,-2,1) = (17) (4,-2,1) = (47, -27, 17)

Passo 10

Finalmente, obtemos v2 subtraindo v1 de v:
v2 = v - v1 = (2,3,1) - (47, -27, 17) = (147 - 47, 217 + 27, 77 - 17) = (107, 237, 67)

Passo 11

Vamos decompor o vetor v = (-1,-3,2) em duas partes: v1, que é paralelo a w = (0,1,3), e v2, que é ortogonal a w. Para isso, utilizaremos a projeção de vetores.

Passo 12

Primeiro, calculamos o produto escalar de v e w:
v cdot w = (-1) times 0 + (-3) times 1 + 2 times 3 = 0 - 3 + 6 = 3

Passo 13

Em seguida, calculamos o módulo ao quadrado de w:
|w|^2 = 0^2 + 1^2 + 3^2 = 0 + 1 + 9 = 10

Passo 14

Agora, encontramos v1 usando a fórmula da projeção:
v1 = (v cdot w|w|^2) w = (310) (0,1,3) = (0, 310, 910)

Passo 15

Finalmente, obtemos v2 subtraindo v1 de v:
v2 = v - v1 = (-1,-3,2) - (0, 310, 910) = (-1, -3310, 1110)

Resposta

v1 = (0, 310, 910) e v2 = (-1, -3310, 1110).

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