Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas e, em cada caso, faça um esboço do objeto geométrico correspondente: b) varphi=45^circ

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para converter uma equação de coordenadas esféricas para cartesianas e desenhar o objeto geométrico correspondente. O que a gente tem aqui é a equação varphi=45^circ, onde varphi é um dos ângulos nas coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como fazer a conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão das coordenadas esféricas (r, theta, varphi) para cartesianas (x, y, z). As fórmulas são:
x = r cdot sin(varphi) cdot cos(theta)
y = r cdot sin(varphi) cdot sin(theta)
z = r cdot cos(varphi)
Onde:
  • r é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x,
  • varphi é o ângulo a partir do eixo z.

Passo 3

Como a equação dada é varphi = 45^circ, isso significa que o ângulo varphi está fixo em 45 graus para todos os pontos do objeto geométrico. Vamos substituir varphi por 45^circ nas fórmulas:
x = r cdot sin(45^circ) cdot cos(theta)
y = r cdot sin(45^circ) cdot sin(theta)
z = r cdot cos(45^circ)
Sabemos que sin(45^circ) = cos(45^circ) = raiz22. Substituindo esses valores:
x = r cdot raiz22 cdot cos(theta)
y = r cdot raiz22 cdot sin(theta)
z = r cdot raiz22

Passo 4

Agora, vamos eliminar o parâmetro r para obter uma relação apenas entre x, y e z. Observando as equações acima, podemos resolver a última para r:
r = zraiz22 = z cdot 2raiz2 = z cdot raiz2
Substituindo r nas equações de x e y:
x = z cdot raiz2 cdot raiz22 cdot cos(theta) = z cdot cos(theta)
y = z cdot raiz2 cdot raiz22 cdot sin(theta) = z cdot sin(theta)

Passo 5

Para eliminar theta, usamos a identidade trigonométrica cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1. Dividindo x e y por z:
(xz)^2 + (yz)^2 = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
Isso simplifica para:
x^2 + y^2z^2 = 1 Rightarrow x^2 + y^2 = z^2

Resposta

A equação varphi=45^circ em coordenadas cartesianas é x^2 + y^2 = z^2. O objeto geométrico correspondente é um cone de abertura 45°, simétrico em relação ao eixo z, que se estende infinitamente para cima e para baixo.

Exercícios relacionados