Passar as seguintes equações de coordenadas esféricas para cartesianas e, em cada caso, faça um esboço do objeto geométrico correspondente: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para converter uma equação de coordenadas esféricas para cartesianas e desenhar o objeto geométrico correspondente. O que a gente tem aqui é a equação
, onde
é um dos ângulos nas coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como fazer a conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de conversão das coordenadas esféricas
para cartesianas
. As fórmulas são:
Onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x, -
é o ângulo a partir do eixo z.
Passo 3
Como a equação dada é
, isso significa que o ângulo
está fixo em 45 graus para todos os pontos do objeto geométrico. Vamos substituir
por
nas fórmulas:
Sabemos que
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o parâmetro
para obter uma relação apenas entre
,
e
. Observando as equações acima, podemos resolver a última para
:
Substituindo
nas equações de
e
:
Passo 5
Para eliminar
, usamos a identidade trigonométrica
. Dividindo
e
por
:
Isso simplifica para:
Resposta
A equação
em coordenadas cartesianas é
. O objeto geométrico correspondente é um cone de abertura 45°, simétrico em relação ao eixo z, que se estende infinitamente para cima e para baixo.