Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: b) .

Passo 1

E aí! Vamos resolver o exercício de converter a equação cartesiana para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo dos sistemas de coordenadas, especificamente de cartesianas para esféricas. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas esféricas relacionam-se com as cartesianas e aplicar essas relações na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas são definidas em termos das coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores: (a distância do ponto à origem), (o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo ) e (o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano ).
As relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação cartesiana dada:
Substituindo , e :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos ao quadrado:
Agora, fatoramos o :

Passo 5

Observe que . Portanto, podemos simplificar a expressão dentro dos parênteses:

Passo 6

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 7

Finalmente, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A equação em coordenadas esféricas é:

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Ex. 2. Simplifique:
(f) ;
Em cada caso, decomponha como uma soma com paralelo a e ortogonal a .
(i)
(ii)
(iii)
Sejam e bases de tais que e . Calcule as coordenadas de na base .
Ex. 2. Simplifique:
(k) ;