Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: b) .
Passo 1
E aí! Vamos resolver o exercício de converter a equação cartesiana para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo dos sistemas de coordenadas, especificamente de cartesianas para esféricas. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas esféricas relacionam-se com as cartesianas e aplicar essas relações na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas são definidas em termos das coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores: (a distância do ponto à origem), (o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo ) e (o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano ).
As relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas são:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação cartesiana dada:
Substituindo , e :
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos ao quadrado:
Agora, fatoramos o :
Passo 5
Observe que . Portanto, podemos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Passo 6
Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Passo 7
Finalmente, para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: