Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: b) x^2+y^2+9 z^2=16.

Passo 1

E aí! Vamos resolver o exercício de converter a equação cartesiana para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo dos sistemas de coordenadas, especificamente de cartesianas para esféricas. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas esféricas relacionam-se com as cartesianas e aplicar essas relações na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas esféricas são definidas em termos das coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três valores: x = r sin theta cos phi y = r sin theta sin phi z = r cos theta (a distância do ponto à origem), (o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo ) e (o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano ).
As relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação cartesiana dada:
x^2 + y^2 + 9 z^2 = 16
Substituindo (r sin theta cos phi)^2 + (r sin theta sin phi)^2 + 9 (r cos theta)^2 = 16 , e :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos os termos ao quadrado:
r^2 sin^2 theta cos^2 phi + r^2 sin^2 theta sin^2 phi + 9 r^2 cos^2 theta = 16
Agora, fatoramos o r^2 (sin^2 theta cos^2 phi + sin^2 theta sin^2 phi + 9 cos^2 theta) = 16 :

Passo 5

Observe que r^2 (sin^2 theta ( cos^2 phi + sin^2 phi ) + 9 cos^2 theta) = 16 . Portanto, podemos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
r^2 (sin^2 theta cdot 1 + 9 cos^2 theta) = 16
r^2 (sin^2 theta + 9 cos^2 theta) = 16

Passo 6

Agora, queremos isolar r^2 = 16sin^2 theta + 9 cos^2 theta . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 7

Finalmente, para encontrar r = raiz 16sin^2 theta + 9 cos^2 theta = 4raiz sin^2 theta + 9 cos^2 theta , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A equação r = 4raiz sin^2 theta + 9 cos^2 theta em coordenadas esféricas é:

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