Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: a) x^2+y^2-9 x=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter a equação cartesiana para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo de sistemas de coordenadas na matemática, onde às vezes é mais fácil trabalhar com diferentes sistemas para resolver certos problemas. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam as coordenadas cartesianas com as esféricas .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são feitas as conversões entre coordenadas cartesianas e esféricas. As fórmulas que a gente vai usar são:
x = rho sin(theta) cos(phi) y = rho sin(theta) sin(phi) z = rho cos(theta)
Onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir x^2 + y^2 - 9x = 0 e (rho sin(theta) cos(phi))^2 + (rho sin(theta) sin(phi))^2 - 9 (rho sin(theta) cos(phi)) = 0 na equação original pelas expressões em coordenadas esféricas. A equação dada é:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expandindo os quadrados:
rho^2 sin^2(theta) cos^2(phi) + rho^2 sin^2(theta) sin^2(phi) - 9 rho sin(theta) cos(phi) = 0
Note que rho^2 sin^2(theta) ( cos^2(phi) + sin^2(phi) ) - 9 rho sin(theta) cos(phi) = 0 , então podemos simplificar:
rho^2 sin^2(theta) - 9 rho sin(theta) cos(phi) = 0
rho sin(theta) ( rho sin(theta) - 9 cos(phi) ) = 0
Agora, podemos fatorar :

Passo 5

Temos duas possibilidades para essa equação ser igual a zero:
  1. rho = 9 cos(phi)sin(theta)
    Isso ocorre quando (o ponto é a origem) ou (os pontos estão no eixo ).
  2. Isolando :

Resposta

A equação cartesiana rho = 9 cos(phi)sin(theta) em coordenadas esféricas fica:

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