Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: a) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter a equação cartesiana para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo de sistemas de coordenadas na matemática, onde às vezes é mais fácil trabalhar com diferentes sistemas para resolver certos problemas. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam as coordenadas cartesianas com as esféricas .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são feitas as conversões entre coordenadas cartesianas e esféricas. As fórmulas que a gente vai usar são:
Onde:
é a distância do ponto até a origem.
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
é o ângulo no plano a partir do eixo .
Passo 3
Agora, vamos substituir e na equação original pelas expressões em coordenadas esféricas. A equação dada é:
Substituindo e :
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expandindo os quadrados:
Note que , então podemos simplificar:
Agora, podemos fatorar :
Passo 5
Temos duas possibilidades para essa equação ser igual a zero:
Isso ocorre quando (o ponto é a origem) ou (os pontos estão no eixo ).
Isolando :
Resposta
A equação cartesiana em coordenadas esféricas fica: