Passar as seguintes equações cartesianas para coordenadas esféricas: a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter a equação cartesiana para coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo de sistemas de coordenadas na matemática, onde às vezes é mais fácil trabalhar com diferentes sistemas para resolver certos problemas. Para isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam as coordenadas cartesianas com as esféricas .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são feitas as conversões entre coordenadas cartesianas e esféricas. As fórmulas que a gente vai usar são:
Onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original pelas expressões em coordenadas esféricas. A equação dada é:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expandindo os quadrados:
Note que , então podemos simplificar:
Agora, podemos fatorar :

Passo 5

Temos duas possibilidades para essa equação ser igual a zero:
  1. Isso ocorre quando (o ponto é a origem) ou (os pontos estão no eixo ).
  2. Isolando :

Resposta

A equação cartesiana em coordenadas esféricas fica:

Exercícios relacionados

Ex. 1. Simplifique as expressões:
(h) ;
Em cada caso, decomponha como uma soma com paralelo a e ortogonal a .
(i)
(ii)
(iii)
Ex. 2. Simplifique:
(f) ;