Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação “Qualquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto” é verdadeira ou falsa. Vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre a interseção de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como três planos podem se interseccionar e quais são as possíveis situações que podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois planos no espaço podem ser paralelos ou se interceptar ao longo de uma linha. Se não forem paralelos, eles se cruzam em uma reta. Agora, quando adicionamos um terceiro plano, há algumas possibilidades:
  1. Todos os três planos se intersectam em um único ponto: Isso acontece quando cada par de planos se cruza em uma linha diferente, e essas três linhas se encontram exatamente no mesmo ponto.
  2. Os três planos têm uma linha comum de interseção: Ou seja, todas as três retas de interseção entre os planos se coincidem.
  3. Os três planos não têm um ponto comum de interseção: Isso pode ocorrer se, por exemplo, dois planos se interceptam em uma reta e o terceiro plano é paralelo a essa reta, mas não passa por ela.

Passo 3

Vamos analisar a afirmação: “Qualquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.”
Para que essa afirmação seja verdadeira, sempre que tivermos três planos que não são paralelos entre si, eles devem se cruzar em apenas um ponto. Mas, como vimos, existe a possibilidade de que os três planos tenham uma linha comum de interseção ou que não tenham nenhum ponto comum.

Passo 4

Vamos dar um exemplo para mostrar que a afirmação é falsa. Considere os seguintes três planos:
Observamos que os dois primeiros planos são múltiplos um do outro, mas para evitar paralelismo, vamos considerar que não há pares paralelos. No entanto, mesmo assim, ao resolver o sistema de equações, percebemos que os três planos têm uma infinidade de pontos em comum, formando uma linha de interseção, e não um único ponto.

Resposta

A afirmação é falsa. Nem sempre três planos que não incluem um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .
Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Verifique que os vetores e formam uma base ortonormal de com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de e :
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vi) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano.