Verifique que os vetores
e
formam uma base ortonormal de
com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Primeiro, temos três vetores em
:
A primeira parte da pergunta quer que a gente verifique se esses vetores formam uma base ortonormal no espaço tridimensional com o produto interno euclidiano. Depois, precisamos escrever o vetor
como uma combinação linear desses vetores da base. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como produto interno, norma de um vetor e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e que cada vetor tem norma igual a 1.
Então, vamos verificar:
-
Norma dos vetores:
- A norma de um vetor
é dada por .
- A norma de um vetor
-
Ortogonais entre si:
- Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
- O produto interno euclidiano de
e é dado por .
Passo 3
Vamos calcular a norma de cada vetor:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Todos os vetores têm norma igual a 1. Agora vamos verificar se eles são ortogonais entre si.
Passo 4
Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores:
-
Entre
e : -
Entre
e : -
Entre
e :
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são ortogonais entre si.
Passo 5
Como os três vetores são ortogonais entre si e cada um tem norma igual a 1, podemos concluir que eles formam uma base ortonormal de
com o produto interno euclidiano.
Agora, vamos passar para a segunda parte da questão: expressar o vetor
como uma combinação linear de
,
e
. Como temos uma base ortonormal, podemos usar a propriedade de que os coeficientes da combinação linear são os produtos internos do vetor com cada vetor da base.
Passo 6
Vamos chamar o vetor dado de
. Queremos encontrar escalares
,
e
tais que:
Para encontrar
,
e
, usamos:
Isso funciona porque a base é ortonormal.
Passo 7
Vamos calcular cada coeficiente:
-
Calculando
: -
Calculando
: -
Calculando
:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base ortonormal da seguinte forma: