Verifique que os vetores v1=(-35, 45, 0), v2=(45, 35, 0) e v3=(0,0,1) formam uma base ortonormal de R^3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de v1, v2 e v3: (3,-7,4)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Primeiro, temos três vetores em v1 = (-35, 45, 0), v2 = (45, 35, 0), v3 = (0, 0, 1) :
A primeira parte da pergunta quer que a gente verifique se esses vetores formam uma base ortonormal no espaço tridimensional com o produto interno euclidiano. Depois, precisamos escrever o vetor como uma combinação linear desses vetores da base. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como produto interno, norma de um vetor e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e que cada vetor tem norma igual a 1.
Então, vamos verificar:
  1. Norma dos vetores:
    • A norma de um vetor é dada por .
  2. Ortogonais entre si:
    • Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
    • O produto interno euclidiano de e é dado por .

Passo 3

Vamos calcular a norma de cada vetor:
  • Para |v1| = raiz(-35)^2 + (45)^2 + 0^2 = raiz925 + 1625 = raiz2525 = 1 :
    |v2| = raiz(45)^2 + (35)^2 + 0^2 = raiz1625 + 925 = raiz2525 = 1
  • Para |v3| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1 :
  • Para :
Todos os vetores têm norma igual a 1. Agora vamos verificar se eles são ortogonais entre si.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores:
  • Entre v1 cdot v2 = (-35)(45) + (45)(35) + 0 cdot 0 = -1225 + 1225 + 0 = 0 e v1 cdot v3 = (-35) cdot 0 + 45 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0 :
    v2 cdot v3 = 45 cdot 0 + 35 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Entre e :
  • Entre e :
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são ortogonais entre si.

Passo 5

Como os três vetores são ortogonais entre si e cada um tem norma igual a 1, podemos concluir que eles formam uma base ortonormal de com o produto interno euclidiano.
Agora, vamos passar para a segunda parte da questão: expressar o vetor como uma combinação linear de , e . Como temos uma base ortonormal, podemos usar a propriedade de que os coeficientes da combinação linear são os produtos internos do vetor com cada vetor da base.

Passo 6

Vamos chamar o vetor dado de u = a v1 + b v2 + c v3 . Queremos encontrar escalares a = u cdot v1, b = u cdot v2, c = u cdot v3 , e tais que:
Para encontrar , e , usamos:
Isso funciona porque a base é ortonormal.

Passo 7

Vamos calcular cada coeficiente:
  • Calculando a = u cdot v1 = 3 cdot (-35) + (-7) cdot (45) + 4 cdot 0 = -95 - 285 + 0 = -375 :
    b = u cdot v2 = 3 cdot (45) + (-7) cdot (35) + 4 cdot 0 = 125 - 215 + 0 = -95
  • Calculando c = u cdot v3 = 3 cdot 0 + (-7) cdot 0 + 4 cdot 1 = 0 + 0 + 4 = 4 :
  • Calculando :

Resposta

Portanto, o vetor (3, -7, 4) = -375 , v1 - 95 , v2 + 4 , v3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base ortonormal da seguinte forma:

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