Verifique que os vetores
e
formam uma base ortonormal de
com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de
e
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Primeiro, temos três vetores em
:
A primeira parte da pergunta quer que a gente verifique se esses vetores formam uma base ortonormal no espaço tridimensional com o produto interno euclidiano. Depois, precisamos escrever o vetor
como uma combinação linear desses vetores da base. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como produto interno, norma de um vetor e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e que cada vetor tem norma igual a 1.
Então, vamos verificar:
-
Norma dos vetores:
- A norma de um vetor
é dada por .
- A norma de um vetor
-
Ortogonais entre si:
- Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
- O produto interno euclidiano de
e é dado por .
Passo 3
Vamos calcular a norma de cada vetor:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Todos os vetores têm norma igual a 1. Agora vamos verificar se eles são ortogonais entre si.
Passo 4
Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores:
-
Entre
e : -
Entre
e : -
Entre
e :
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são ortogonais entre si.
Passo 5
Como os três vetores são ortogonais entre si e cada um tem norma igual a 1, podemos concluir que eles formam uma base ortonormal de
com o produto interno euclidiano.
Agora, vamos passar para a segunda parte da questão: expressar o vetor
como uma combinação linear de
,
e
. Como temos uma base ortonormal, podemos usar a propriedade de que os coeficientes da combinação linear são os produtos internos do vetor com cada vetor da base.
Passo 6
Vamos chamar o vetor dado de
. Queremos encontrar escalares
,
e
tais que:
Para encontrar
,
e
, usamos:
Isso funciona porque a base é ortonormal.
Passo 7
Vamos calcular cada coeficiente:
-
Calculando
: -
Calculando
: -
Calculando
:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base ortonormal da seguinte forma:
Exercícios relacionados
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.
Mostre que o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial
.
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vi) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano.
(vi) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano.
Considere a matriz
de ordem
dada por:
- Determine o núcleo (kernel) da matriz
:
- Encontre o conjunto de todos os vetores
em tal que , em que é o vetor nulo em .
- Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz
:
- Encontre o conjunto de todos os vetores
em tal que existe um vetor em com