Verifique que os vetores e formam uma base ortonormal de com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de e :

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Primeiro, temos três vetores em :
A primeira parte da pergunta quer que a gente verifique se esses vetores formam uma base ortonormal no espaço tridimensional com o produto interno euclidiano. Depois, precisamos escrever o vetor como uma combinação linear desses vetores da base. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear, como produto interno, norma de um vetor e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são ortogonais entre si (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores diferentes é zero) e que cada vetor tem norma igual a 1.
Então, vamos verificar:
  1. Norma dos vetores:
    • A norma de um vetor é dada por .
  2. Ortogonais entre si:
    • Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero.
    • O produto interno euclidiano de e é dado por .

Passo 3

Vamos calcular a norma de cada vetor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Todos os vetores têm norma igual a 1. Agora vamos verificar se eles são ortogonais entre si.

Passo 4

Vamos calcular o produto interno entre cada par de vetores:
  • Entre e :
  • Entre e :
  • Entre e :
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são ortogonais entre si.

Passo 5

Como os três vetores são ortogonais entre si e cada um tem norma igual a 1, podemos concluir que eles formam uma base ortonormal de com o produto interno euclidiano.
Agora, vamos passar para a segunda parte da questão: expressar o vetor como uma combinação linear de , e . Como temos uma base ortonormal, podemos usar a propriedade de que os coeficientes da combinação linear são os produtos internos do vetor com cada vetor da base.

Passo 6

Vamos chamar o vetor dado de . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Para encontrar , e , usamos:
Isso funciona porque a base é ortonormal.

Passo 7

Vamos calcular cada coeficiente:
  • Calculando :
  • Calculando :
  • Calculando :

Resposta

Portanto, o vetor pode ser expresso como combinação linear dos vetores da base ortonormal da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(ii) Quaisquer três planos que não incluam um par de planos paralelos se encontram em um único ponto.
Mostre que o conjunto é linearmente independente no espaço vetorial .
Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa.
(vi) Se uma reta é paralela ao vetor normal de um plano, então ela é paralela ao plano.
Considere a matriz de ordem dada por:
  1. Determine o núcleo (kernel) da matriz :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que , em que é o vetor nulo em .
  1. Determine a imagem (ou espaço coluna) da matriz :
  • Encontre o conjunto de todos os vetores em tal que existe um vetor em com